Capítulo 4 Métodos para máximos y mínimos
4.1 Significado geométrico de máximo y mínimo local
![Concepto de máximo y mínimo local geometricamente [Imagen tomada de [@thomas2003thomas] pág $1028$]](images/GrafMaxMin_A1.png)
Figura 4.1: Concepto de máximo y mínimo local geometricamente [Imagen tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(1028\)]
Definición 4.1 Sea \(f(x,y)\) definida en una región \(D\) que contiene al punto \((a,b)\). Entonces
(1.) \(f(a,b)\) es un valor máximo local de \(f\) si \(f(a,b) \geq f(x,y)\) para todos los puntos del dominio \((x,y)\) un disco abirto con centro en \((a,b)\)
(2.) \(f(a,b)\) es un valor mínimo local de \(f\) si \(f(a,b) \leq f(x,y)\) para todos los puntos del dominio \((x,y)\) un disco abirto con centro en \((a,b)\)
tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(1028\)
![Criterio para determinar máximo y mínimo local geometricamente [Imagen tomada de [@thomas2003thomas] pág $1028$]](images/GrafMaxMin_A2.png)
Figura 4.2: Criterio para determinar máximo y mínimo local geometricamente [Imagen tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(1028\)]
Teorema 4.1 Si \(f(x,y)\) tiene un valor máximo o mínimo local en un punto interior \((a,b)\) de su dominio, y si las primeras derivadas parciales existen en el punto, entonces
\[ f_{x}(a,b)=0 \qquad \qquad \text{ y } \qquad \qquad f_{y}(a,b)=0 \]
tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(1028\)
Definición 4.2 Un punto interior del dominio de una función \(f(x,y)\) donde \(f_x\) y \(f_y\) se anulan, o bien donde alguna de estas derivadas no existen, es un punto crítico de \(f\)
tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(1029\)
Definición 4.3 Una función diferenciable \(f(x,y)\) tiene un punto silla en un punto crítico \((a,b)\) si en cada disco abierto con centro en \((a,b)\) existen punto del dominio \((x,y)\) donde \(f(x,y)>f(a,b)\), y puntos del dominio \((x,y)\) donde \(f(x,y)<f(a,b)\). El punto correspondiente \((a,b,f(a,b))\) sobre la superficie \(z=f(x,y)\) se conoce como punto silla de la superficie.
tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(1029\)
Teorema 4.2 Suponga que \(f(x,y)\) y sus primeras y segundas derivadas parciales son continuas en un disco con centro en \((a,b)\) y que \(f_{x}(a,b)=f_{y}(a,b)=0\). Entonces
(1.) \(f\) tiene un máximo local en \((a,b)\), si \(f_{xx}<0\) y \(f_{xx}f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^2>0\) en \((a,b)\)
(2.) \(f\) tiene un mínimo local en \((a,b)\), si \(f_{xx}>0\) y \(f_{xx}f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^2>0\) en \((a,b)\)
(3.) \(f\) tiene un punto silla en \((a,b)\), si \(f_{xx}f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^2<0\) en \((a,b)\)
(4.) El criterio no es concluyente en \((a,b)\), si \(f_{xx}f_{yy}-\left(f_{xy}\right)^2=0\) en \((a,b)\). En este caso, debemos buscar otra forma de determinar el comportamiento de \(f\) en \((a,b)\).
4.2 Herramienta para obtener el Hessiano 2por2
Esta es una aplicación para obtener el valor de el Hessiano en un punto \((a,b)\) de una función \(f(x,y)\), el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/ebw5zjfr) la elaboro usando geogebra.
Superficie y plano tangente con criterio de segundas derivadas parciales
4.3 Método de los multiplicadore de Lagrange para determinar máximos o mínimos
Teorema 4.3 Sean \(f\) y \(g\) funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que \(f\) tiene un extremo en un punto \((x_0,y_0)\) sobre la curva suave de restricción \(g(x,y)=c\). Si \(\nabla{g(x_0,y_0)} \neq 0\), entonces existe un número real \(\lambda\) tal que
\[ \nabla{f(x_0,y_0)}=\lambda \nabla{g(x_0,y_0)} \]
Tomada de (R. Larson 2006) pág \(971\)
Sean \(f\) y \(g\) funciones que satisfecen las hipótesis del teorema de Lagrange, y sea \(f\) una función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restircción \(g(x,y)=c\). Para hallar el mínimo o el máximo de \(f\), seguir los pasos descritos a continuación
(1.) Resolver simultáneamente las ecuaciones
\[ \ \ \ \nabla{f(x,y)}=\lambda \nabla{g(x,y)} \ \qquad \ \text{ y } \ \qquad \ g(x,y)=c \]
En otros términos resolver el sistema de ecuaciones no lineales siguiente:
\[ (a) \ \ f_{x}(x,y)={\lambda}g_{x}(x,y)\\ (b) \ \ f_{y}(x,y)={\lambda}g_{y}(x,y)\\ (c) \ \ \ \qquad \ \ \ \ \ \ g(x,y)=c \]
(2.) Evaluar \(f\) en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayor da el máximo de \(f\) sujeto a la restricción \(g(x,y)=c\), y el valor menor da el mínimo de \(f\) sujeto a la restricción \(g(x,y)=c\)
Tomada de (R. Larson 2006) pág \(971\)
Ejemplo 4.1 Hallar el valor máximo de \(f(x,y)=4xy\) donde \(x>0\) y \(y>0\), sujeto a la restricción \(x^2/9+y^2/16=1\)
Sea
\[ g(x,y)=\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1 \]
Igualando \(\nabla{f(x,y)}=4yi+4xj\), y \(\lambda \nabla{g(x,y)}=(2{\lambda}x/9)i+({\lambda}y/8)j\), se puede obtener el sistema de ecuaciones siguiente:
\[\begin{matrix} (1) & 4y=\dfrac{2x\lambda}{9} \\ (2) & 4x=\dfrac{y\lambda}{8} \\ (3) & \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1 \end{matrix}\]De la primera ecuación, se obtiene \(\lambda=18y/x\), que sustituido en la segunda ecuación da:
\[ 4x=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{18y}{x}\right)y\\ x^2=\dfrac{9}{16}y^2 \]
Sustituyendo en la tercera ecuación \(x^2\) por este valor se tiene:
\[ \dfrac{1}{9}\left(\dfrac{9}{16}y^2\right)+\dfrac{1}{16}y^2=1\\ y^2=8\\ y=\pm 2\sqrt(2) \]
Como se requiere que \(y>0\), se elige el valor positivo para \(y\). Ahora se halla el valor para \(x\) como:
\[ x^2=\dfrac{9}{16}y^2\\ x^2=\dfrac{9}{16}(8)=\dfrac{9}{2}\\ x=\dfrac{3}{\sqrt{2}} \]
Por lo tanto, el valor máximo de \(f\) es
\[ \left. f(x,y)=4xy \right]_{(3/{\sqrt{2}},2\sqrt{2})} \qquad \Longleftrightarrow \qquad f\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}},2\sqrt{2}\right)=4\left(\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)(2\sqrt{2})=24 \]
Esta solución puede verse en (R. Larson 2006) pág \(973\)
Ejemplo 4.2 Sea \(T(x,y,z)=20+2x+2y+z^2\) la temperatura en cada punto en una esfera \(x^2+y^2+z^2=11\). Hallar las temperaturas extremas en la curva formada por la intersección del plano \(x+y+z=3\) y la esfera.