Capítulo 5 Integrales simples

Blaise Pascal (1623-1662).

Figura 5.1: Concepto integral a partir del área bajo una curva [Imagen tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(355\)]

El cálculo integral se base en el concepto de la integral. La definición de integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una funcíón \(y=f(x)\) con valores positivos \(f\) y el eje \(x\) en un intervalo cerrado \([a,b]\).

Definición 5.1 Una antiderivada o primitiva de una función \(f\) es una función \(F\) tal que

\[ F'(x)=f(x) \] siempre y cuando la función \(f(x)\) esté bien definida.

Teorema 5.1 Si \(F'(x)=f(x)\) en cada punto del intervalo abierto \(I\), entonces cada primitiva \(G\) de \(f\) en \(I\) tiene la forma

\[ G(x)=F(x)+C \]

donde \(C\) es una constante.

La colección de todas las primitivas de la función \(f(x)\) es conocida como la integral indefinida de \(f\) con respecto de \(x\) y se denota por

\[ \displaystyle\int{f(x)dx}=F(x)+C \]

donde \(F(x)\) es una primitiva particular de \(f(x)\). Por lo tanto se cumple que:

\[ \boxed{ \displaystyle\int{f(x)dx}=F(x)+C \qquad \text{si y sólo si } \qquad F'(x)=f(x)} \]

5.1 Primera tabla de antiderivadas

\[\text{ Recordar como se deriva implica saber integrar }\] \[ \begin{matrix} & D_{x}\left[F(x)+C\right]=f(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{f(x)dx}=F(x)+C\\ (1.) & D_{x}\left[x+C\right]=1 & \Longrightarrow & \displaystyle\int{1dx}=x+C\\ (2.) & D_{x}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\right]=x^n, \ \ n\neq -1 & \Longrightarrow & \displaystyle\int{x^ndx}=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C, \ \ n\neq -1\\ (3.) & D_{x}\left[e^{x}+C\right]=e^{x} & \Longrightarrow & \displaystyle\int{e^{x}dx}=e^{x}+C\\ (4.) & D_{x}\left[\dfrac{e^{cx}}{c}+C\right]=e^{cx} & \Longrightarrow & \displaystyle\int{e^{cx}dx}=\dfrac{1}{c}e^{cx}+C\\ (5.) & D_{x}\left[sen(x)+C\right]=cos(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{cos(x)dx}=sen(x)+C\\ (6.) & D_{x}\left[-cos(x)+C\right]=sen(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{sen(x)dx}=-cos(x)+C\\ (7.) & D_{x}\left[tan(x)+C\right]=sec^2(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{sec^2(x)dx}=tan(x)+C\\ (8.) & D_{x}\left[sec(x)+C\right]=se(x)tan(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{sec(x)tan(x)dx}=sec(x)+C\\ (9.) & D_{x}\left[-csc(x)+C\right]=csc(x)cot(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{csc(x)cot(x)dx}=-csc(x)+C\\ (10.) & D_{x}\left[-cot(x)+C\right]=csc^2(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{csc^2(x)dx}=-cot(x)+C\\ (11.) & D_{x}\left[ln(|sec(x)|)+C\right]=tan(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{tan(x)dx}=ln(|sec(x)|)+C\\ (12.) & D_{x}\left[ln(|sen(x)|)+C\right]=cot(x) & \Longrightarrow & \displaystyle\int{cot(x)dx}=ln(|sen(x)|)+C\\ (13.) & D_{x}\left[arcsen(x)+C\right]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} & \Longrightarrow & \displaystyle\int{\dfrac{1dx}{\sqrt{1-x^2}}}=arcsen(x)+C\\ (14.) & D_{x}\left[arctan(x)+C\right]=\dfrac{1}{1+x^2} & \Longrightarrow & \displaystyle \int{\dfrac{1dx}{1+x^2}}=arctan(x)+C\\ (15.) & D_{x}\left[ln(x)+C\right]=\dfrac{1}{x} & \Longrightarrow & \displaystyle\int{x^{-1}dx}=\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}dx}=ln(|x|)+C\\ (16.) & D_{x}\left[\dfrac{a^x}{ln(a)}+C\right]=a^{x} & \Longrightarrow & \displaystyle\int{a^{x}dx}=\dfrac{a^{x}}{ln(a)}+C\\ \end{matrix} \]

5.2 Herramienta para obtener antiderivadas

Esta es una aplicación para obtener la antiderivada de \(f(x)\), el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/b67q6hkq) la elaboro usando geogebra.

5.3 Propiedades de las antiderivadas

\[\begin{matrix} (1.) & \displaystyle\int{cf(x)dx}=c\displaystyle\int{f(x)dx} \\ (2.) & \displaystyle\int{\left[f(x) \pm g(x)\right]dx}=\displaystyle\int{f(x)dx}\pm \displaystyle\int{g(x)dx} \end{matrix}\]

5.4 Ejemplo1 de antiderivada

Ejemplo 5.1 Determinar

\[ \displaystyle\int{\left(x^4+3\sqrt{x^5}-\dfrac{4}{x^3}\right)dx} \]

Solución. \[\begin{equation} \label{eq1} \begin{split} \displaystyle\int{\left(x^4+3\sqrt{x^5}-\dfrac{4}{x^3}\right)dx} & = \displaystyle\int{x^4dx}+ \displaystyle\int{3\sqrt{x^5}dx}-\displaystyle\int{\dfrac{4}{x^3}dx}\\ &=\displaystyle\int{x^4dx}+ \displaystyle\int{3x^{5/2}dx}-\displaystyle\int{4{x^{-3}}dx}\\ &=\dfrac{x^{4+1}}{4+1}+3\displaystyle\int{x^{5/2}dx}-4\displaystyle\int{{x^{-3}}dx}\\ &=\dfrac{x^{4+1}}{4+1}+3\left(\dfrac{x^{5/2+1}}{5/2+1}\right)-4\left(\dfrac{x^{-3+1}}{-3+1}\right)+C\\ &=\dfrac{x^{5}}{5}+\left(\dfrac{3x^{7/2}}{7/2}\right)-4\left(\dfrac{x^{-2}}{-2}\right)+C\\ &=\dfrac{x^{5}}{5}+\left(\dfrac{6x^{7/2}}{7}\right)+2\left(\dfrac{x^{-2}}{1}\right)+C\\ &=\dfrac{x^{5}}{5}+\left(\dfrac{6}{7}\right)x^{7/2}+2\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)+C\\ &=\dfrac{1}{5}x^{5}+\dfrac{6}{7}\sqrt{x^{7}}+\dfrac{2}{x^{2}}+C\\ \end{split} \end{equation}\]

5.5 Ejemplo2 de antiderivada

Ejemplo 5.2 Determinar

\[ \displaystyle\int{(2cos(3x)+5sen(4x))dx} \]

Solución. \[\begin{equation} \label{eq2} \begin{split} \displaystyle\int{(2cos(3x)+5sen(4x))dx} &=\displaystyle\int{2cos(3x)dx}+\displaystyle\int{5sen(4x)dx}\\ &=2\displaystyle\int{cos(3x)dx}+5\displaystyle\int{sen(4x)dx}\\ &=2\left(\dfrac{sen(3x)}{3}\right)+5\left(\dfrac{-cos(4x)}{4}\right)+C\\ &=\dfrac{2}{3}sen(3x)-\dfrac{5}{4}cos(4x)+C\\ \end{split} \end{equation}\]

5.6 Teorema fundamental del cálculo, caso Uno

Teorema 5.2 Si \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces la función \(g\) definida por

\[ g(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt, \qquad a \leq x \leq b \]

es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\), y \(g'(x)=f(x)\).

tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(381\)]

Figura 5.2: Grafica TMA fundamental del cálculo parte, uno [Imagen tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(380\)]

Ejemplo 5.3 Encuentre

\[ \dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle\int_{a}^{x^4}sec(t)dt\right] \]

En este caso debe ser cuidadoso al usar la regla de la cadena junto con TFC1. Sea \(u=x^4\). Por lo tanto

\[\begin{equation} \label{eqdSS0} \begin{split} \dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle\int_{a}^{x^4}sec(t)dt\right] & = \dfrac{d}{dx}\left[\displaystyle\int_{a}^{u}sec(t)dt\right]\\ & = \dfrac{d}{du}\left[\displaystyle\int_{a}^{u}sec(t)dt\right]\dfrac{du}{dx}\\ & = sec(u)\dfrac{du}{dx}\\ & = sec(x^4).4x^3 \end{split} \end{equation}\]

tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág 384

5.7 Teorema fundamental del cálculo, caso Dos

Teorema 5.3 Si \(f\) es continua en \([a,b]\), entonces

\[ \int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a) \]

donde \(F\) es la antiderivada de \(f\), es decir, una función tal que \(F'=f\).

tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(384\)]

5.8 Integral definida (Riemann)

Author: J. Cayetano Rodríguez (Formación Instituto GeoGebra Extremeño)

5.9 Técnicas de integración

5.10 Integración por sustitución o cambio de variable

En general la técnica de sustitución funciona siempre que se tiene una integral que se pueda escribir en la forma:

\[ \boxed{ \displaystyle\int{f(g(x))g'(x)dx}} \]

Si \(u=g(x)\) es una función derivable cuyo alcance es un intervalo \(I\), y \(f\) es continua sobre \(I\), entonces

\[ \displaystyle\int{f(g(x))g'(x)dx}=\displaystyle\int{f(u)du} \]

5.10.1 Ejemplo1 por sustitución

Ejemplo 5.4 Encuentre

\[ \displaystyle\int{2x\sqrt{1+x^2}dx} \]

Tomando el cambio de variable \(\boxed{w^2=1+x^2}\) (1), se genera que \(2wdw=2xdx\); simplificando por \(2\) en ambos lados de la igualdad se obtiene que \(\boxed{wdw=xdx}\) (2). Realizando la sustitución de (1) y (2). Se obtiene que:

\[\begin{equation} \label{eqdSS1} \begin{split} I & =\displaystyle\int{2x\sqrt{1+x^2}dx} =2\displaystyle\int{x\sqrt{1+x^2}dx}=2\displaystyle\int{\sqrt{1+x^2}xdx}\\ I & =2\displaystyle\int{\sqrt{w^2}wdw}2\displaystyle\int{wwdw}=2\displaystyle\int{w^2dw}\\ I & =2\left(\dfrac{w^3}{3}\right)+C\\ I & =\left(\dfrac{2}{3}\right)w^3+C \end{split} \end{equation}\]

Respuesta en la variable \(x\):

\[ \displaystyle\int{2x\sqrt{1+x^2}dx} = \left(\dfrac{2}{3}\right)\left(\sqrt{1+x^2}\right)^{3}+C \]

5.10.2 Ejemplo2 por sustitución

Ejemplo 5.5 Encuentre

\[ \displaystyle\int{\sqrt{2x+1}dx} \]

Tomaremos el cambio \(\boxed{w^2=2x+1}\) (1), entonces \(2wdw=2dx\), simplificando en ambos lados de la igualdad por \(2\), se obtiene que: \(\boxed{wdw=dx}\) (2).

Realizando la sustitución de (1), y (2) en la integral obtenemos:

\[\begin{equation} \label{eqdSS2} \begin{split} I & = \displaystyle\int{\sqrt{2x+1}dx} \qquad \longleftrightarrow \quad \displaystyle\int{\sqrt{w^2}w}dw= \displaystyle\int{w.wdw}= \displaystyle\int{w^2dw} = \dfrac{w^3}{3}+C\\ \end{split} \end{equation}\]

Respuesta en la variable \(x\):

\[ \displaystyle\int{\sqrt{2x+1}dx} = \dfrac{1}{3}\left(\sqrt{2x+1}\right)^{3}+C \]

5.10.3 Ejemplo3 por sustitución

Ejemplo 5.6 Encuentre

\[ \displaystyle\int{x^3cos(x^4+2)dx} \]

Tomaremos el cambio \(\boxed{w=x^4+2}\) (1), entonces \(dw=4x^3dx\), simplificando en ambos lados de la igualdad por \(4\), se obtiene que: \(\boxed{dw/4=x^3dx}\) (2).

Realizando la sustitución de (1), y (2) en la integral obtenemos:

\[\begin{equation} \label{eqdSS3} \begin{split} I = \displaystyle\int{x^3cos(x^4+2)dx} =\displaystyle\int{cos(x^4+2)x^3dx} \ \longleftrightarrow \ \displaystyle\int{cos(w)\dfrac{dw}{4}} & = \dfrac{1}{4}\displaystyle\int{cos(w)dw}=\\ & = \dfrac{sen(w)}{4}+C\\ \end{split} \end{equation}\]

Respuesta en la variable \(x\):

\[ \displaystyle\int{x^3cos(x^4+2)dx} = \dfrac{sen(x^4+2)}{4}+C \]

5.10.4 Ejemplo4 por sustitución

Ejemplo 5.7 Encuentre

\[ \displaystyle\int{x^5\sqrt{x^2+1}dx} \]

Tomaremos el cambio \(\boxed{w^2=x^2+1}\) (1), entonces \(2wdw=2xdx\), simplificando en ambos lados de la igualdad por \(2\), se obtiene que: \(\boxed{wdw=xdx}\) (2). Además \(\boxed{w^2-1=x^2}\) (3).

Realizando la sustitución de (1), (2), y (3) en la integral obtenemos:

\[\begin{equation} \label{eqdSS4} \begin{split} I & = \displaystyle\int{x^5\sqrt{x^2+1}dx} =\displaystyle\int{\left(x^2\right)^2\left(\sqrt{x^2+1}\right)xdx}\\ & \longleftrightarrow \ \displaystyle\int{(w^2-1)^2\sqrt{w^2}.wdw}\\ & = \displaystyle\int{(w^2-1)^2w.wdw}=\displaystyle\int{(w^2-1)^2.w^2}dw\\ & = \displaystyle\int{\left(\left(w^2\right)^2-2w^2+1\right).w^2dw}\\ & = \displaystyle\int{\left(w^4-2w^2+1\right).w^2dw}=\displaystyle\int{\left(w^6-2w^4+w^2\right).dw}\\ & =\dfrac{w^7}{7}-\dfrac{2w^5}{5}+\dfrac{w^3}{3}+C \end{split} \end{equation}\]

Como sabemos que \(w^2=x^2+1\), entonces \(w=\sqrt{x^2+1}=\left(x^2+1\right)^{1/2}\). Y por tal motivo la respuesta en la variable \(x\) es:

\[ \displaystyle\int{x^5\sqrt{x^2+1}dx} = \dfrac{\left(x^2+1\right)^{7/2}}{7}-\dfrac{2\left(x^2+1\right)^{5/2}}{5}+\dfrac{\left(x^2+1\right)^{3/2}}{3}+C \]

5.11 Integración por partes

\[ \boxed{ \displaystyle\int{f(x)g'(x)dx}=f(x)g(x)- \displaystyle\int{g(x)f'(x)dx}} \]

Una representación equivalente será haciendo el cambio de variable:

\(u=f(x)\), \(v=g(x)\), entonces \(du=f'(x)dx\), y \(dv=g'(x)dx\)

\[ \boxed{ \displaystyle\int{udv}=uv- \displaystyle\int{vdu}} \]

5.11.1 Ejemplo1 por partes

Ejemplo 5.8 Encuentre

\[ \displaystyle\int{xsen(x)dx} \]

Sabemos que \(D_{x}\left[-cos(x)\right]=sen(x)\), ó equivalentemente

\[ \dfrac{d}{dx}\left[-cos(x)\right]=sen(x) \qquad \text{ ó equivalentemente } \qquad d\left[-cos(x)\right]=sen(x)dx \]

Entonces

\[\begin{equation} \label{eqdpp1} \begin{split} \displaystyle\int{xsen(x)dx} &= \displaystyle\int{xd\left[-cos(x)\right]}=-xcos(x)-\displaystyle\int{-cos(x)d[x]}\\ &=-xcos(x)+\displaystyle\int{cos(x)dx} \qquad \text{Recordar: } \quad d[x]=1dx=dx \qquad \\ & = -xcos(x)+sen(x)+C \end{split} \end{equation}\]

Respuesta:

\[ \displaystyle\int{xsen(x)dx} = -xcos(x)+sen(x)+C \]

5.11.2 Ejemplo2 por partes

Ejemplo 5.9 Encuentre

\[ \displaystyle\int{xe^{x}dx} \]

Para realizar la integración por partes lo haremos usando la fórmula: \[ \boxed{ \displaystyle\int{udv}=uv- \displaystyle\int{vdu}} \]

Aquí tomaremos \(u=x\) y \(dv=e^{x}dx\)

Sabemos que:

\[ \text{Como } \qquad dv=e^{x}dx \qquad \qquad \text{ entonces } \qquad v=\displaystyle\int{e^{x}dx}=e^{x} \qquad \text{ aquí la constante es } \ C=0. \] Por lo tanto

\[\begin{equation} \label{eqdpp2} \begin{split} \displaystyle\int{udv} &= uv- \displaystyle\int{vdu} \\ & = xe^{x}-\displaystyle\int{e^{x}dx} \qquad \qquad \text{ a quí } \quad du=1dx\\ & = xe^{x}-e^{x}+C \end{split} \end{equation}\]

Respuesta:

\[ \displaystyle\int{xe^{x}dx} = xe^{x}-e^{x}+C \]

5.11.3 Ejemplo3 por partes

Ejemplo 5.10 Encuentre

\[ \displaystyle\int{x^2e^{x}dx} \]

En el proceso de solución vamos a usar parte de la notación de antiderivada

Sabemos que

\[ D_{x}\left[e^{x}\right]=e^{x} \qquad \text{ es equivalente a } \qquad D\left[e^{x}\right]=e^{x}dx \]
Aplicando esta notación a la integral propuesta tenemos:

\[\begin{equation} \label{eqdpp3} \begin{split} \displaystyle\int{x^2e^{x}dx} &=\displaystyle\int{x^2D\left[e^{x}\right]}\\ & =x^2e^{x}-\displaystyle\int{e^{x}D\left[x^2\right]}\\ & =x^2e^{x}-2\displaystyle\int{xe^{x}dx}\\ & =x^2e^{x}-2\left[\displaystyle\int{xD\left[e^{x}\right]}\right]\\ & =x^2e^{x}-2\left[xe^{x}-\displaystyle\int{e^{x}D\left[x\right]}\right]\\ & =x^2e^{x}-2\left[xe^{x}-\displaystyle\int{e^{x}dx}\right]\\ & =x^2e^{x}-2\left[xe^{x}-e^{x}\right]+C\\ & =x^2e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C\\ & =e^{x}\left(x^2-2x+2\right)+C \end{split} \end{equation}\]

Respuesta:

\[ \displaystyle\int{x^2e^{x}dx} = e^{x}\left(x^2-2x+2\right)+C \]

5.11.4 Ejemplo4 por partes

Ejemplo 5.11 Encuentre

\[ \displaystyle\int{(ax^2+bx+c)e^{x}dx} \] donde \(a\), \(b\), y \(c\) son constantes

\[\begin{equation} \label{eqdpp4} \begin{split} \displaystyle\int{(ax^2+bx+c)e^{x}dx} & = a\displaystyle\int{x^2e^{x}dx}+b\displaystyle\int{xe^{x}dx}+c\displaystyle\int{e^{x}dx}\\ & =ae^{x}\left[x^2-2x+2\right]+be^{x}\left[x-1\right]+ce^{x}+C\\ & =e^{x}\left(a\left[x^2-2x+2\right]+b\left[x-1\right]+c\right)+C\\ & =e^{x}\left[ax^2+(b-2a)x+(2a-1b+c)\right]+C\\ \end{split} \end{equation}\]

Respuesta:

\[ \displaystyle\int{(ax^2+bx+c)e^{x}dx} = e^{x}\left[ax^2+(b-2a)x+(2a-1b+c)\right]+C \]

5.11.5 Ejemplo5 por partes

Ejemplo 5.12 Encuentre

\[ \displaystyle\int{sen(x)e^{x}dx} \]

\[\begin{equation} \label{eqdpp5} \begin{split} I_{1} & =\displaystyle\int{sen(x)e^{x}dx} = \\ & =\displaystyle\int{sen(x)D\left[e^{x}\right]}\\ & = sen(x)e^{x}-\displaystyle\int{e^{x}D\left[sen(x)\right]}\\ & = sen(x)e^{x}-\displaystyle\int{e^{x}cos(x)dx}\\ & = sen(x)e^{x}-\displaystyle\int{cos(x)D\left[e^{x}\right]}\\ & = sen(x)e^{x}-\left(cos(x)e^{x}-\displaystyle\int{e^{x}D\left[cos(x)\right]}\right)\\ & = sen(x)e^{x}-cos(x)e^{x}+\displaystyle\int{e^{x}D\left[cos(x)\right]}\\ & = sen(x)e^{x}-cos(x)e^{x}-\displaystyle\int{sen(x)e^{x}dx}\\ I_{1} & = sen(x)e^{x}-cos(x)e^{x}-I_{1}\\ 2I_{1} & =e^{x}\left[sen(x)-cos(x)\right]+C_{1}\\ I_{1} & = \dfrac{e^{x}}{2}\left[sen(x)-cos(x)\right]+\dfrac{C_{1}}{2}\\ I_{1} & = \dfrac{e^{x}}{2}\left[sen(x)-cos(x)\right]+C\\ \end{split} \end{equation}\]

Respuesta:

\[ \displaystyle\int{sen(x)e^{x}dx} = \dfrac{e^{x}}{2}\left[sen(x)-cos(x)\right]+C\\ \]

5.11.6 Ejemplo6 por partes

Ejemplo 5.13 Encuentre

\[ \displaystyle\int{arcsen(x)dx} \]

\[\begin{equation} \label{eqdpp6} \begin{split} I & =\displaystyle\int{arcsen(x)dx} = \displaystyle\int{arcsen(x)1dx} \\ & = \displaystyle\int{arcsen(x)D\left[x\right]} \\ & = xarcsen(x)-\displaystyle\int{xD\left[arcsen(x)\right]} \\ & = xarcsen(x)-\displaystyle\int{x\left(\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\right)} \\ & = xarcsen(x)-\displaystyle\int{\dfrac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}} \\ & \text{Realizando el cambio } \quad \boxed{w^2=1-x^2} \ \ (1) \quad \text{ implica que } \quad 2wdw=-2xdx \\ & \text{Entonces } \quad \boxed{-wdw=xdx} \ \ (2) \\ & \text{Usando (1) y (2) en } \quad \displaystyle\int{\dfrac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}} \quad \longleftrightarrow \quad \displaystyle\int{\dfrac{-wdw}{\sqrt{w^2}}} =-\displaystyle\int{\dfrac{wdw}{w}}=-\displaystyle\int{dw}=-w+C\\ I & = xarcsen(x)-\left(-\sqrt{1-x^2}\right)+C\\ I & = xarcsen(x)+\sqrt{1-x^2}+C \end{split} \end{equation}\]

Respuesta:

\[ \displaystyle\int{arcsen(x)dx} = xarcsen(x)+\sqrt{1-x^2}+C\\ \]

5.12 Integración por sustitución trigonométrica

\[ \boxed{ \begin{matrix} \text{Expresión} & \text{Sustitución}&\text{Cond para }\theta & \text{Identidad}\\ \sqrt{a^2-x^2}; & x=asen(\theta); & -\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}; & 1-sen^2(\theta)=cos^2(\theta)\\ \end{matrix}} \]

5.12.1 Ejemplo1

Ejemplo 5.14 Determine

\[ \displaystyle{\int{\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx}} \]

Primero:

Asumir que \(a^2=9\), entonces \(a=3\) y \(x=asen(\theta)\) es equivalente a \(x=3sen(\theta)\) (1). \(dx=3cos(\theta)d\theta\) (2).

Segundo:

Sustituir (1)y(2) en la integral, así:

\[\begin{equation} \label{eqST1} \begin{split} I & =\displaystyle{\int{\dfrac{\sqrt{9-\left(3sen(\theta)\right)^2}}{\left(3sen(\theta)\right)^2}3cos(\theta)d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{\sqrt{9-\left(9sen^2(\theta)\right)}}{9sen^2(\theta)}3cos(\theta)d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{\sqrt{9\left(1-sen^2(\theta)\right)}}{9sen^2(\theta)}3cos(\theta)d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{\sqrt{9\left(cos(\theta)\right)^2}}{9sen^2(\theta)}3cos(\theta)d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{3cos(\theta)}{9sen^2(\theta)}3cos(\theta)d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{9cos^2(\theta)}{9sen^2(\theta)}d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{cos^2(\theta)}{sen^2(\theta)}d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{1-sen^2(\theta)}{sen^2(\theta)}d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\left[\dfrac{1}{sen^2(\theta)}-\dfrac{sen^2(\theta)}{sen^2(\theta)}\right]d\theta}}\\ & = \displaystyle{\int{\left[csc^2(\theta)-1\right]d\theta}}=\displaystyle{\int{csc^2(\theta)d\theta}}-\displaystyle{\int{1d\theta}}\\ & = -cot(\theta)- \theta +C \end{split} \end{equation}\]

Figura 5.3: Triángulo rectángulo para la sustitución trigonométrica uno [Imagen tomada de (Stewart 2009) pág \(468\)]

Respuesta:

(1.) Del triángulo rectángulo es claro que \(sen(\theta)=\dfrac{x}{3}\), entonces \(\theta=sen^{-1}\left(\dfrac{x}{3}\right)\)

(2.) Del triángulo rectángulo es claro que \(cot(\theta)=\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{x}\)

\[ \displaystyle{\int{\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{x^2}dx}}=-\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{x}-sen^{-1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C \]

\[ \boxed{ \begin{matrix} \text{Expresión} & \text{Sustitución}&\text{Cond para }\theta & \text{Identidad}\\ \sqrt{a^2+x^2}; & x=atan(\theta); & -\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2}; & 1+tan^2(\theta)=sec^2(\theta)\\ \end{matrix}} \]

5.12.2 Ejemplo2

Ejemplo 5.15 Determine

\[ \displaystyle{\int{\dfrac{1}{x^2\sqrt{x^2+4}}dx}} \]

Primero:

Asumir que \(a^2=4\), entonces \(a=2\) y \(x=atan(\theta)\) es equivalente a \(x=2tan(\theta)\) (1). \(dx=2sec^2(\theta)d\theta\) (2).

Segundo:

Sustituir (1)y(2) en la integral, así:

\[\begin{equation} \label{eqST2} \begin{split} I & = \displaystyle{\int{\dfrac{2sec^2(\theta)d\theta}{4tan^2(\theta)\sqrt{4tan^2(\theta)+4}}}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{2sec^2(\theta)d\theta}{4tan^2(\theta)\sqrt{4\left(tan^2(\theta)+1\right)}}}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{2sec^2(\theta)d\theta}{4tan^2(\theta)\sqrt{4sec^2(\theta)}}}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{2sec^2(\theta)d\theta}{4tan^2(\theta)2sec(\theta)}}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{sec(\theta)d\theta}{4tan^2(\theta)}}}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{sec(\theta)d\theta}{4tan^2(\theta)}}}; \ \ \ \text{Sabemos que: } \qquad \dfrac{sec(\theta)}{tan^2(\theta)}=\dfrac{1}{cos(\theta)}.\dfrac{cos^2(\theta)}{sen^2(\theta)}=\dfrac{cos(\theta)}{sen^2(\theta)}\\ & = \displaystyle{\int{\dfrac{sec(\theta)d\theta}{4tan^2(\theta)}}}= \displaystyle{\int{\dfrac{cos(\theta)d\theta}{4sen^2(\theta)}}}\\ & = \dfrac{1}{4}\displaystyle{\int{\dfrac{cos(\theta)d\theta}{sen^2(\theta)}}}\quad \text{Realizando el cambio } u=sen(\theta), \ \ \text{entonces } \ \ du=cos(\theta)d\theta\\ & \qquad \longleftrightarrow \dfrac{1}{4}\displaystyle{\int{\dfrac{du}{u^2}}}=\dfrac{1}{4}\displaystyle{\int{u^{-2}du}}=\dfrac{-1}{4u}+C\\ \end{split} \end{equation}\]

Respuesta en la variable \(\theta\):

\[ \dfrac{1}{4}\displaystyle{\int{\dfrac{cos(\theta)d\theta}{sen^2(\theta)}}} = -\dfrac{1}{4sen(\theta)}+C=\dfrac{-csc(\theta)}{4}+C\\ \]

Figura 5.4: Triángulo rectángulo para la sustitución trigonométrica dos [Imagen tomada de (Stewart 2009) pág \(469\)]

Respuesta en la variable \(x\):

Del triángulo rectángulo es claro que \(csc(\theta)=\dfrac{\sqrt{x^2+4}}{x}\), entonces

\[ \displaystyle{\int{\dfrac{1}{x^2\sqrt{x^2+4}}dx}}=-\dfrac{\sqrt{x^2+4}}{4x}+C \]

\[ \boxed{ \begin{matrix} \text{Expresión} & \text{Sustitución}&\text{Cond para }\theta & \text{Identidad}\\ \sqrt{x^2-a^2}; & x=asec(\theta); & 0 \leq \theta < \dfrac{\pi}{2} \text{ ó } \pi \leq \theta < \dfrac{3\pi}{2}; & sec^2(\theta)-1=tan^2(\theta)\\ \end{matrix}} \]

5.12.3 Ejemplo3

Ejemplo 5.16 Determine

\[ \displaystyle{\int{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4}}dx}} \]

Primero:

Asumir que \(a^2=4\), entonces \(a=2\) y \(x=asec(\theta)\) es equivalente a \(x=2sec(\theta)\) (1). \(dx=2sec(\theta)tan(\theta)d\theta\) (2).

Segundo:

Sustituir (1)y(2) en la integral, así:

\[\begin{equation} \label{eqST3} \begin{split} I & =\displaystyle{\int{\dfrac{1}{\sqrt{\left(4sec^2(\theta)-4\right)}}2sec(\theta)tan(\theta)d\theta}}\\ & =\displaystyle{\int{\dfrac{1}{\sqrt{4(sec^2(\theta)-1)}}2sec(\theta)tan(\theta)d\theta}}\\ & =\displaystyle{\int{\dfrac{1}{\sqrt{4tan^2(\theta)}}2sec(\theta)tan(\theta)d\theta}}\\ & =\displaystyle{\int{\dfrac{1}{2tan(\theta)}2sec(\theta)tan(\theta)d\theta}}\\ & =\displaystyle{\int{sec(\theta)d\theta}}=ln|sec(\theta)+tan(\theta)|+C\\ \end{split} \end{equation}\]

Figura 5.5: Triángulo rectángulo para la sustitución trigonométrica tres [Imagen tomada de (Stewart 2009) pág \(469\)]

Respuesta en la variable \(x\):

(1.) Del triángulo rectángulo es claro que si \(a=2\), entonces \(tan(\theta)=\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{2}\).

(2.) Del triángulo rectángulo es claro que si \(a=2\), entonces \(sec(\theta)=\dfrac{x}{2}\).

\[ \displaystyle{\int{\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4}}dx}}=ln\left|\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right|+C \]

5.13 Integación por fracciones parciales

Definición 5.2 Una fracción racional se dice fracción propia, si y sólo si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, donde tanto el numerador como el denominador no tienen factores comunes.

\[ f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}, \qquad \text{ es fracción propia si y sólo si } \qquad grado(P) < grado(Q) \]

Una fracción se dice impropia si no es propia. Más aún:

\[ f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}, \qquad \text{ es fracción impropia si y sólo si } \qquad grado(P) \geq grado(Q) \]

NOTA: Si \(f(x)\) es una fracción racional impropia entonces es posible descomponer \(f(x)\) como:

\[ f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}, \qquad \text{ tal que } \qquad grado(R) < grado(Q) \]

5.13.1 Ejemplo1

Ejemplo 5.17 Determinar

\[ \displaystyle\int{\dfrac{x^3+x}{x-1}dx} \] tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(474\).

Realizando la división de ambos polinomios se obtiene que:

\[ \dfrac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\dfrac{2}{x-1} \]
Entonces

\[\begin{equation} \label{eqFP1} \begin{split} \displaystyle\int{\dfrac{x^3+x}{x-1}dx} & = \displaystyle\int{x^2dx}+\displaystyle\int{xdx}+\displaystyle\int{2dx}+\displaystyle\int{\dfrac{2}{x-1}dx}\\ & = \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x+2ln|x-1|+C \end{split} \end{equation}\]

5.13.2 Ejemplo2

El denominador \(Q(x)\) es un producto de factores lineales distintos

\[ Q(x)=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)...(a_kx+b_k) \]

donde ningún factor se repite. Entonces por teorema de facciones parciales existen constantes \(A_1,A_2,...,A_k\), tales que

\[ f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+...+\dfrac{A_k}{a_kx+b_k}, \ \ \ \text{ donde } \ \ \ grado(P(x))<grado(Q(x)) \]

Ejemplo 5.18 Determine

\[ \displaystyle\int{\dfrac{1x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}dx} \] tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(475\)

Sabemos que por factorización el denominador \(Q(x)\) puede ser expresado equivalentemente como:

\[ Q(x) =2x^3+3x^2-2x=x(2x^2+3x-2)=x(2x-1)(x+2) \]

Por lo tanto

\[ \dfrac{1x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}=\dfrac{1x^2+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{2x-1}+\dfrac{C}{x+2} \ \ \ (a) \]

Para determinar los valores correspondientes a \(A\), \(B\), y \(C\) multiplicamos al ecuación (a) por \(x(2x-1)(x+2)\) en ambos lados el la igualdad de lo cual obtenemos:

\[ 1x^2+2x-1= A(2x-1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(2x-1) \ \ \ (b) \]

Al desarrollar el lado izquierdo de (b) y reagrupar términos, se obtiene:

\[ 1x^2+2x-1= (2A+B+2C)x^2+(3A+2B-C)x-2A \ \ \ (c) \]

Aplicando la definición de polinomios iguales, recordemos que dos polinomios son iguales, si y sólo si poseen el mismo grado y sus coeficientes correspondientes son iguales, entonces aplicando esto a la igualdad de polinomios expresada en (c), se obtiene el sistema \(3\times 3\):

\[ \begin{matrix} 2A +B+2C & = & 1\\ 3A +2B-C & = & 2\\ -2A & = & -1\\ \end{matrix} \]

Usando cualquier técnica para obtener la solución del sistema \(3\times 3\), se llega a los resultados:

\[ A=\dfrac{1}{2}, \qquad B=\dfrac{1}{5}, \qquad C=\dfrac{-1}{10} \]

Por lo tanto

\[ \begin{equation} \label{eqFP2} \begin{split} \displaystyle\int{\dfrac{1x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}dx} & = \displaystyle\int{\left[\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{2x-1}-\dfrac{1}{10}\dfrac{1}{x+2}\right]dx}\\ & = \displaystyle\int{\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x}dx}+\displaystyle\int{\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{2x-1}dx}-\displaystyle\int{\dfrac{1}{10}\dfrac{1}{x+2}dx}\\ & = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}dx}+\dfrac{1}{5}\displaystyle\int{\dfrac{1}{2x-1}dx}-\dfrac{1}{10}\displaystyle\int{\dfrac{1}{x+2}dx}\\ & = \dfrac{1}{2}ln|x|+\dfrac{1}{5}ln|2x-1|-\dfrac{1}{10}ln|x+2|+C \end{split} \end{equation} \]

Respuesta en la variable \(x\):

\[ \displaystyle\int{\dfrac{1x^2+2x-1}{2x^3+3x^2-2x}dx}=\dfrac{1}{2}ln|x|+\dfrac{1}{5}ln|2x-1|-\dfrac{1}{10}ln|x+2|+C \]

5.13.3 Ejemplo3

El denominador \(Q(x)\) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten

\[ Q(x)=(a_1x+b_1)^r(a_2x+b_2)^s...(a_kx+b_k)^t \]

Entonces por teorema de facciones parciales existen constantes \(A_1,A_2,...,A_r\), tales que para el factor \((a_1x+b_1)^r\), se tiene:

\[ \dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{(a_1x+b_1)^2}+...+\dfrac{A_r}{(a_1x+b_1)^r}, \ \ \ \text{ donde } \ \ \ r\geq 2 \]

Ejemplo 5.19 Determinar

\[ \displaystyle\int{\dfrac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx} \]

tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(477\)

Primero debe verse que \(grado(P(x))\geq grado(Q(x))\), lo que significa que se debe realizar la división entre ambos polinomios, obteniendo:

\[ \dfrac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}=x+1+\dfrac{4x}{x^3-x^2-x+1} \]

Además por factorización se puede ver que \(Q(x)\) puede expresarse como:

\[ Q(x)=x^3-x^2-x+1=(x-1)^2(x+1) \]

Si la descomposición para la fracción propia con factor lineal repetido tiene la forma:

\[ \dfrac{4x}{(x-1)^2(x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x+1} \ \ \ (1). \]

Entonces el enunciado queda representado como:

\[ \begin{equation} \label{eqFP3} \begin{split} I & =\displaystyle\int{\dfrac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx}\\ & =\displaystyle\int{\left[x+1+\dfrac{4x}{(x-1)^2(x+1)}\right]dx}\\ & =\displaystyle\int{\left[x+1+A\left(\dfrac{1}{x-1}\right)+B\left(\dfrac{1}{(x-1)^2}\right)+C\left(\dfrac{1}{x+1}\right)\right]dx}\\ & =\displaystyle\int{(x+1)dx}+A\displaystyle\int{\dfrac{1}{x-1}dx}+B\displaystyle\int{\dfrac{1}{(x-1)^2}dx}+C\displaystyle\int{\dfrac{1}{x+1}dx}\\ \end{split} \end{equation} \]

Para determinar los valores de \(A\), \(B\), y \(C\), se procede de la igualdad (1), multiplicando por \((x-1)^2(x+1)\) en ambos lados de la ecuación (1), se obtiene:

\[ 0x^2+4x+0=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+c(x-1)^2 \ \ \ (2). \]

Desarrollando el lado izquierdo de (2), y reagrupando se tiene:

\[ 0x^2+4x+0=(A+C)x^2+(B-2C)x+(B+C-A) \ \ \ (3). \]

Como ambos polinomios en (3) son de igual grado, entonces podemos igualar coeficiente a coeficiente, asi:

\[ \begin{matrix} A + C & = & 0\\ B - 2C & = & 4\\ -A + B + C & = & 0\\ \end{matrix} \]

Usando cualquier técnica para obtener la solución del sistema \(3\times 3\), se llega a los resultados:

\[ A=1, \qquad B=2, \qquad C=-1 \]

Por lo tanto

\[ \begin{equation} \label{eqFP4} \begin{split} \displaystyle\int{\dfrac{x^4-2x^2+4x+1}{x^3-x^2-x+1}dx} & = \displaystyle\int{(x+1)dx}+1\displaystyle\int{\dfrac{1}{x-1}dx}+2\displaystyle\int{\dfrac{1}{(x-1)^2}dx}+-1\displaystyle\int{\dfrac{1}{x+1}dx}\\ & =\dfrac{x^2}{2}+1x+ln|x-1|-\dfrac{2}{x-1}-ln|x+1|+C \end{split} \end{equation} \]

5.13.4 Ejemplo4

El denominador \(Q(x)\) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite

Una expresión cuadrática de la forma \(ax^2+bx+c\) se dice irreducible en el conjunto de los número reales, si \(D=b^2-4ac<0\)

Ejemplo 5.20 Determinar

\[ \displaystyle\int{\dfrac{x^2-x+4}{x^3+4x}dx} \]

tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(478\)

Como el denominador \(Q(x)=x^3+4x\), se puede factorizar en la forma: \(Q(x)=x(x^2+4)\) donde \(x^2+4\) es una expresión cuadrática irreducible. Entonces

\[ \dfrac{x^2-x+4}{x^3+4x}=\dfrac{x^2-x+4}{x(x^2+4)} =\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+4} \ \ \ (1) \]

de donde

\[ \begin{equation} \label{eqFP5} \begin{split} \displaystyle\int{\dfrac{x^2-x+4}{x^3+4x}dx} & =\displaystyle\int{\dfrac{A}{x}dx}+\displaystyle\int{\dfrac{Bx+C}{x^2+4}dx}\\ & =\displaystyle\int{\dfrac{A}{x}dx}+\displaystyle\int{\dfrac{Bx}{x^2+4}dx}+\displaystyle\int{\dfrac{C}{x^2+4}dx}\\ & =A\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}dx}+B\displaystyle\int{\dfrac{x}{x^2+4}dx}+C\displaystyle\int{\dfrac{1}{x^2+4}dx}\\ \end{split} \end{equation} \]

Para determinar los valores de \(A\), \(B\), y \(C\), se procede de la igualdad (1), multiplicando en ambos lados por \(x(x^2+4)\) dando como resultado:

\[ 2x^2-x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)x=(A+B)x^2+Cx+4A \]

Al igualar los coeficientes correspondientes a sus respectivos grados se obtiene:

\[ \begin{matrix} A + B & = & 2\\ C & = & -1\\ 4A & = & 4\\ \end{matrix} \]

Usando cualquier técnica para obtener la solución del sistema \(3\times 3\), se llega a los resultados:

\[ A=1, \qquad B=1, \qquad C=-1 \]

Por lo tanto

\[ \begin{equation} \label{eqFP6} \begin{split} \displaystyle\int{\dfrac{x^2-x+4}{x^3+4x}dx} & =1\displaystyle\int{\dfrac{1}{x}dx}+1\displaystyle\int{\dfrac{x}{x^2+4}dx}-1\displaystyle\int{\dfrac{1}{x^2+4}dx}\\ & = ln|x|+\dfrac{1}{2}ln(x^2+4)-\dfrac{1}{2}arctan\left(\dfrac{x}{2}\right)+C \end{split} \end{equation} \]

5.13.5 Ejemplo5

El denominador \(Q(x)\) contiene un factor cuadrático irreducibles que se repitte

Si \(Q(x)\) tiene un factor cuadrático que tiene multiplicidad \(r\) \((ax^2+bx+c)^r\), entonces la descomposición parcial es de la forma:

\[ \dfrac{A_{1}x+B_{1}}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_{2}x+B_{2}}{(ax^2+bx+c)^2}+\dfrac{A_{3}x+B_{3}}{(ax^2+bx+c)^3}+...+\dfrac{A_{r}x+B_{r}}{(ax^2+bx+c)^r} \]

Ejemplo 5.21 Determinar

\[ \displaystyle\int{\dfrac{1-x+x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}dx} \]

tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág \(480\)

La descomposición de la fracción propia del integrando es:

\[ \dfrac{1-x+x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}+\dfrac{Dx+E}{(x^2+1)^2} \ \ \ (a) \]

Multiplicando en ambos lados de (a) por \(x(x^2+1)^2\), se obtiene:

\[ \begin{equation} \label{eqFP7} \begin{split} 0x^4-x^3+2x^2-x+1 & =A(x^2+1)^2+(Bx+C)x(x^2+1)+(Dx+E)x \\ & = A(x^4+2x^2+1)+B(x^4+x^2)+C(x^3+x)+Dx^2+Ex\\ & = (A+B)x^4+Cx^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A \end{split} \end{equation} \]

Igualando los coeficientes de ambos lados según el grado correspondiente, tenemos el siguiente sistema:

\[ \begin{matrix} A + B & = & 0\\ C & = & -1\\ A & = & 1\\ 2A + B + D & = & 2\\ C + E & = & -1\\ \end{matrix} \]

Usando cualquier técnica para obtener la solución del sistema, se llega a los resultados:

\[ A=1, \qquad B=-1, \qquad C=-1, \qquad D=1, \qquad E=0 \]

Entonces se tiene la integral en fracciones parciales, así:

\[ \begin{equation} \label{eqFP8} \begin{split} \displaystyle\int{\dfrac{1-x+x^2-x^3}{x(x^2+1)^2}dx} & = \displaystyle\int{\left[\dfrac{1}{x}-\dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\right]dx}\\ & = ln|x|-\dfrac{1}{2}ln(x^2+1)-arctan(x)-\dfrac{1}{2(x^2+1)}+C \end{split} \end{equation} \]

5.14 Fórmulas de reducción para integrar

\[ \begin{matrix} (1.) & \displaystyle\int{\left(ln(x)\right)^ndx}=x\left(ln(x)\right)^n -n\displaystyle\int{\left(ln(x)\right)^{n-1}dx}\\ (2.) & \displaystyle\int{x^ne^xdx}=-n\displaystyle\int{x^{n-1}e^xdx} \\ (3.) & \displaystyle\int{tan^n(x)dx}=\dfrac{tan^{n-1}(x)}{n-1}-\displaystyle\int{tan^{n-2}(x)dx} \ \ \ n \neq 1 \\ (4.) & \displaystyle\int{sec^n(x)dx}=\dfrac{tan(x)sec^{n-2}(x)}{n-1}+\dfrac{n-2}{n-1}\displaystyle\int{sec^{n-2}(x)dx} \ \ \ n \neq 1 \\ (5.) & \displaystyle\int{sen^n(x)dx}=-\dfrac{1}{n}cos(x)sen^{n-1}(x)+\dfrac{n-1}{n}\displaystyle\int{sen^{n-2}(x)dx}\\ (6.) & \displaystyle\int{cos^n(x)dx}=\dfrac{1}{n}sen(x)cos^{n-1}(x)+\dfrac{n-1}{n}\displaystyle\int{cos^{n-2}(x)dx}\\ \end{matrix} \]

5.15 Sustitución de Karl Weierstrass (1815-1897)

El matemático Karl Weierstrass observó que el sustitución:

\[t=tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\]

convierte cualquier función racional de \(sen(x)\) y \(cos(x)\) en una función racional de la variable \(t\). Además obtuvo las siguientes relaciones:

\[ \begin{matrix} cos\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}; & sen\left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}} \\ cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}; & sen(x)=\dfrac{2t}{1+t^2}\\ \text{donde se tiene que } & dx=\dfrac{2dt}{1+t^2} \\ \end{matrix} \]

5.15.1 Ejemplo1(Karl)

Ejemplo 5.22 Determinar

\[ \displaystyle\int{\dfrac{dx}{3-5sen(x)}} \]

Realizando las sustituciones apropiadas según Karl, se tiene:

\[ \begin{equation} \label{eqFP9} \begin{split} I &= \displaystyle\int{\dfrac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{3-5\dfrac{2t}{1+t^2}}}\\ & =\displaystyle\int{\dfrac{\dfrac{2dt}{1+t^2}}{\dfrac{3(1+t^2)-10t}{1+t^2}}}\\ & = \displaystyle\int{\dfrac{2dt}{3t^2-10t+3}}= \displaystyle\int{\dfrac{2dt}{(t-3)(3t-1)}}\\ & = 2\displaystyle\int{\left[\dfrac{A}{t-3}+\dfrac{B}{3t-1}\right]dt}=2A\displaystyle\int{\dfrac{1dt}{t-3}}+2B\displaystyle\int{\dfrac{1dt}{3t-1}}\\ & = 2Aln|t-3|+\dfrac{2B}{3}ln|3t-1|+C \end{split} \end{equation} \]

Para obtener las variables \(A\), y \(B\), tenemos:

\[ 0t+1=A(3t-1)+B(t-3)=(3A+B)t+(-A-3B) \]

El sistema \(2\times 2\) generado es:

\[ (1) \ \ 3A+B=0\\ (2) \ \ -A-3B=1 \]

Usando cualquier técnica para resolver un sistema \(2\times 2\), se obtiene los siguientes valores

\[ A=\dfrac{1}{8}; \qquad B=\dfrac{-3}{8} \]

Por lo tanto la respuesta en \(t\) es:

\[ \displaystyle\int{\dfrac{2dt}{(t-3)(3t-1)}}=\dfrac{2}{8}ln|t-3|-\dfrac{2(3)}{3(8)}ln|3t-1|=\dfrac{1}{4}ln|t-3|-\dfrac{1}{4}ln|3t-1|+C \]

La respuesta en \(x\) es:

\[ \displaystyle\int{\dfrac{dx}{3-5sen(x)}}=\dfrac{1}{4}ln|tan\left(\dfrac{x}{2}\right)-3|-\dfrac{1}{4}ln|3tan\left(\dfrac{x}{2}\right)-1|+C \]

5.16 Integral definida

Definición 5.3 Si \(f\) es una función continua definida para \(a \leq x \leq b\), divida el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de igual ancho \(\bigtriangleup{x}=(b-a)/n\). Haga que \(x_0(=a),x_1,x_2,...,x_n(=b)\) sean los puntos extremos de estos subintervalos y elija \(x_{1}^{*},x_{2}^{*},...,x_{n}^{*}\) como los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que \(x_{i}^{*}\) se encuentre en el i-ésimo subintervalo \([x_{i-1},x_{i}]\). Entonces la integral definida de \(f\), desde \(a\) hasta \(b\), es

\[ \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sum_{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\bigtriangleup{x}} \] Siempre que exista este límite, \(f\) es integrable en \([a,b]\).

tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág 366

Esta es una aplicación para generar el área bajo una curva usando sumas de Riemann, el Autor:José Alejandro López Rentería (https://www.geogebra.org/classic/ex9zdr7e) lo elaboro usando geogebra.

Definición 5.4 Sea \(f(x)\) una función definida en un intervalo cerrado \([a,b]\). Dicimos que un número \(J\) es la integral definida de \(f\) en \([a,b]\) y que \(J\) es el límite de las sumas de Riemann \(\sum_{k=1}^{n}f(c_{k})\bigtriangleup{x_k}\) si se satisface la siguiente condición:

Dado cualquier número \(\epsilon >0\) existe un número correspondiente \(\delta >0\), tal que para toda partición \(P=\{x_0,x_1,...,x_n\}\) de \([a,b]\) con \(\left \| P \right \|<\delta\) y cualquier elección de \(c_k\) en \([x_{k-1},x_k]\), tenemos

\[ \left|\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}f(c_k)\bigtriangleup{x_k}}-J\right|< \epsilon. \]

donde \(J=\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\).

tomada de (Thomas et al. 2003) pág 366

Teorema 5.4 Si \(f\) es continua en \([a,b]\), o si \(f\) tiene únicamente un número finito de saltos discontinuos, entonces \(f\) es integrable en \([a,b]\); es decir, la integral definida

\[ \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\bigtriangleup{x}}, \qquad \text{ existe.} \] donde \(\bigtriangleup{x}=\dfrac{b-a}{n} \qquad \text{ y } \qquad x_{i}=a+i\bigtriangleup{x}\)

tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020b) pág 368

5.17 Ejemplos de integral definida en un intervalo real

5.17.1 Propiedades de la integral definida

\[ \begin{matrix} (1.) & \displaystyle\int_{a}^{b}{cdx}=c(b-a) & c\in R\\ (2.) & \displaystyle\int_{a}^{b}{\left[f(x)\pm g(x)\right]dx}=\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\pm\displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dx} &\\ (3.) & \displaystyle\int_{a}^{b}{cf(x)dx}=c\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx} & c\in R\\ (4.) & \displaystyle\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\displaystyle\int_{c}^{b}{f(x)dx}=\displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx} & \\ (5.) & \text{Si } f(x) \geq 0 \text{ para } a\leq x \leq b, \text{ entonces } \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq 0. & \\ (6.) & \text{Si } f(x) \geq g(x) \text{ para } a\leq x \leq b, \text{ entonces } \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq \displaystyle\int_{a}^{b}{g(x)dx}. & \\ (7.) & \text{Si } m \leq f(x) \leq M \text{ para } a\leq x \leq b, \text{ entonces } m(b-a)\leq \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq M(b-a). & \\ \end{matrix} \]

Figura 5.6: Propiedades de la integral definida [Imagen tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(268\)]

Figura 5.7: Propiedades de la integral definida [Imagen tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(268\)]

5.17.2 Propiedades para las sumatorias

\[ \begin{matrix} (1.) & \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{c}}=cn \\ (2.) & \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{ca_i}}=c\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{a_i}} \\ (3.) & \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{(a_i+b_i)}}\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{b_i}} \\ (4.) & \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{(a_i-b_i)}}\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}-\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{b_i}} \\ \end{matrix} \]

5.17.3 Sumatorias para evaluar integrales definidas

\[ \begin{matrix} \text{ Sumatoria } & \text{ Fórmula } \\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{i}} & \dfrac{n(n+1)}{2} \\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{i^2}} & \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{i^3}} & \left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2 \\ \end{matrix} \]

5.17.4 Ejemplo evaluación por sumatoria

Ejemplo 5.23 Determinar la integral definida

\[ \displaystyle\int_{0}^{b}xdx \]

usando las sumatorias de evaluación.

tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(268\)]

Figura 5.8: Área bajo la recta \(y=x\) en el intervalo \([0,b]\) [Imagen tomada de (Thomas et al. 2003) pág \(268\)]

Para calcular la integral definida como el limite para sumas de Riemann, calulamos

\[ \displaystyle\lim_{\left\|P\right\| \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(c_i)\triangle{x_i}=\displaystyle\int_{0}^{b}xdx \]

Así que consideremos la partición \(P\) que divide el intervalo \([0,b]\) en \(n\) subintervalos del mismo ancho \(\triangle{x}=(b-a)/n=b/n\) y elegimos \(c_i\) como el extremo derecho de cada subintervalo. La partición es:

\[ P=\left\{0,\dfrac{b}{n},\dfrac{2b}{n},\dfrac{3b}{n},\dfrac{4b}{n},,...,\dfrac{nb}{n},\right\} \]

y \(c_i=\dfrac{ib}{n}\), entonces tenemos

\[ \begin{equation} \label{eqSRimannA1} \begin{split} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}f(c_i)\triangle{x_i}& =\sum_{i=1}^{n}\dfrac{ib}{n}.\dfrac{b}{n}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\dfrac{ib^2}{n^2}=\dfrac{b^2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i\\ & = \dfrac{b^2}{n^2}\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]\\ & = \dfrac{b^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\ \displaystyle\lim_{\left\|P\right\| \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(c_i)\triangle{x_i} & =\lim_{n \to {+}\infty}\dfrac{b^2}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\ & =\dfrac{b^2}{2}\lim_{n \to {+}\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\\ & = \dfrac{b^2}{2}.1\\ & = \dfrac{b^2}{2} \end{split} \end{equation} \]

Se concluye que

\[ \displaystyle\lim_{\left\|P\right\| \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(c_i)\triangle{x_i}=\displaystyle\int_{0}^{b}xdx =\dfrac{b^2}{2} \ \ \text{U.A.} \]

5.18 Integrales impropias tipo 1

Definición 5.5

1. Si existe

\[ \displaystyle\int_{a}^{t}{f(x)dx} \] para todo número \(t\geq a\), entonces

\[ \displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx}=\lim_{t \to \infty}{\int_{a}^{t}{f(x)dx}} \]

siempre y cuando existe este límite (como un número finito).

2. Si existe

\[ \displaystyle\int_{t}^{b}{f(x)dx} \] para todo número \(t\leq b\), entonces

\[ \displaystyle\int_{-\infty}^{b}{f(x)dx}=\lim_{t \to -\infty}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}} \]

siempre y cuando existe este límite (como un número finito).

Las integrales impropias se llaman convergentes si hay tal límite y divergentes si no existe.

3. Si existe

\[ \displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx} \quad \text{ y } \quad \displaystyle\int_{-\infty}^{a}{f(x)dx} \] son convergentes, entonces por definición

\[ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=\displaystyle\int_{-\infty}^{a}{f(x)dx}+\displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx} \]

se puede emplear cualquier número real \(a\) en la parte (c).

Tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(429\)

Interpretación geométrica de la integral impropia tipo Uno

Figura 5.9: Interpretación geométrica Área bajo la curva de una integral impropia [Imagen tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(429\)]

5.18.1 Ejemplo1 integral impropia tipo Uno

Ejemplo 5.24 Evalúe la integral \[ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{1}{1+x^2}dx} \]

Figura 5.10: Ejemplo área bajo la curva de una integral impropia [Imagen tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(431\)]

\[ \begin{equation} \label{eqIntImpropiaA0} \begin{split} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{1}{1+x^2}dx} & =\displaystyle\int_{-\infty}^{0}{\dfrac{1}{1+x^2}dx}+\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\dfrac{1}{1+x^2}dx}\\ & \\ & \\ \displaystyle\int_{-\infty}^{0}{\dfrac{1}{1+x^2}dx} &=\lim_{t \to -\infty}{\int_{t}^{0}{\dfrac{1}{1+x^2}dx}}=\lim_{t \to -\infty}{\left. arctan(x)\right]_{t}^{0}}\\ & = \lim_{t \to -\infty}\left(arctan(0)-arctan(t)\right)=0-\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}\\ & \\ & \\ \displaystyle\int_{0}^{\infty}{\dfrac{1}{1+x^2}dx} &=\lim_{t \to +\infty}{\int_{0}^{t}{\dfrac{1}{1+x^2}dx}}=\lim_{t \to +\infty}{\left. arctan(x)\right]_{0}^{t}}\\ & = \lim_{t \to +\infty}\left(arctan(t)-arctan(0)\right)=\lim_{t \to +\infty}{arctan(t)}=\dfrac{\pi}{2}\\ & \\ & \\ & \text{Se concluye que:}\\ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\dfrac{1}{1+x^2}dx} & =\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=\pi \quad \text{U.A.} \end{split} \end{equation} \]

5.18.2 Ejemplo2 integral impropia tipo Uno

Ejemplo 5.25 Evalúe para que valores de \(p\) la integral converge y en que valores de \(p\) diverge \[ \displaystyle\int_{1}^{\infty}{\dfrac{1}{x^p}dx} \]

Supongamos que \(p\neq 1\). Entonces

\[ \begin{equation} \label{eqIntImpropiaA1} \begin{split} \displaystyle\int_{1}^{\infty}{\dfrac{1}{x^p}dx} & = \lim_{t \to +\infty}{\int_{1}^{t}{\dfrac{1}{x^p}dx}}\\ & = \lim_{t \to +\infty}{\left. \dfrac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{x=1}^{x=t}}\\ & = \lim_{t \to +\infty}{\left(\dfrac{1}{1-p}\right)\left[\dfrac{1}{t^{p-1}}-1\right]}\\ & \\ & \\ & \text{Si } \ \ p>1, \quad \text{ entonces } \ \ p-1>0. \quad \text{La integral converge} \\ \displaystyle\int_{1}^{\infty}{\dfrac{1}{x^p}dx} & = \lim_{t \to +\infty}{\left(\dfrac{1}{1-p}\right)\left[\dfrac{1}{t^{p-1}}-1\right]}=\dfrac{1}{p-1}\\ & \\ & \\ & \text{Si } \ \ p<1, \quad \text{ entonces } \ \ p-1<0. \quad \text{La integral diverge} \\ \displaystyle\int_{1}^{\infty}{\dfrac{1}{x^p}dx} & = \lim_{t \to +\infty}{\left(\dfrac{1}{1-p}\right)\left[\dfrac{1}{t^{p-1}}-1\right]}=\infty\\ \end{split} \end{equation} \]

5.18.3 Ejemplo3 integral impropia tipo Uno

Ejemplo 5.26 Evalúe la integral \[ \displaystyle\int_{0}^{\infty}{\dfrac{8a^2dx}{x^2+4a^2}} \]

\[ \begin{equation} \label{eqIntImpropiaA2} \begin{split} \displaystyle\int_{0}^{\infty}{\dfrac{8a^2dx}{x^2+4a^2}} & =\lim_{t \to +\infty}{\int_{0}^{t}{\dfrac{8a^2dx}{x^2+4a^2}}}\\ & =\lim_{t \to +\infty}{\int_{0}^{t}{\dfrac{8a^2dx}{x^2+4a^2}}}=\lim_{t \to +\infty}{\left. 4a^2arctan\left(\dfrac{x}{2a}\right)\right]_{0}^{t}}\\ & =4a^2\lim_{t \to +\infty}{\left[arctan\left(\dfrac{t}{2a}\right)\right]}=4a^2.\dfrac{\pi}{2}=2a^2\pi \end{split} \end{equation} \]

5.18.4 Ejemplo4 integral impropia tipo Uno

Ejemplo 5.27 Evalúe la integral \((p=1)\). \[ \displaystyle\int_{1}^{\infty}{\dfrac{1dx}{x}} \]

\[ \begin{equation} \label{eqIntImpropiaA3} \begin{split} \displaystyle\int_{1}^{\infty}{\dfrac{1dx}{x}} & = \lim_{t \to +\infty}{\int_{1}^{t}{\dfrac{1dx}{x}}}\\ & = \lim_{t \to +\infty}\left(ln|t|-ln(1)\right)=\lim_{t \to +\infty}ln|t|=\infty \end{split} \end{equation} \] No existe el límite de \(ln|t|\) cuando \(t\) aumenta sin límite. Entonces se concluye que la integral impropia diverge.

5.19 Integrales impropias tipo 2

Interpretación geométrica de la integral impropia tipo Dos

Figura 5.11: Interpretación geométrica área bajo la curva de una integral impropia tipo II [Imagen tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(432\)]

Definición 5.6 (a.) Si \(f\) es continua en \([a,b)\) y discontinua en \(x=b\), entonces

\[ \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{t \to b^{-}}{\int_{a}^{t}{f(x)dx}} \] Si este límite existe, como un número finito.

(b.) Si \(f\) es continua en \((a,b]\) y discontinua en \(x=a\), entonces

\[ \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{t \to a^{+}}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}} \] Si este límite existe, como un número finito. Las integrales impropias se llaman convergentes si hay tal límite y divergentes si no existe.

(c.) Si \(f\) tiene una discontinuidad en \(x=c\) y \(a<c<b\), y si son convergentes tanto

\[ \displaystyle\int_{a}^{c}{f(x)dx} \quad \text{ como } \quad \displaystyle\int_{c}^{b}{f(x)dx} \] por definición

\[ \displaystyle\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\displaystyle\int_{a}^{c}{f(x)dx}+\displaystyle\int_{c}^{b}{f(x)dx} \]

Tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(432\)

5.19.1 Ejemplo1 Integral impropia tipo 2 caso (b)

Ejemplo 5.28 Evalúe la integral

\[ \displaystyle\int_{2}^{5}{\dfrac{1dx}{\sqrt{x-2}}} \] Tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(433\)

Figura 5.12: Interpretación geométrica área bajo la curva. Integral impropia tipo II parte (b)[Imagen tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(433\)]

Es bueno resaltar que \(f(x)=1/\sqrt{x-2}\) tiene una asíntota en \(x=2\). Es decir \(f\) es discontinua en \((2,5]\). Entonces aplicando el caso (b) se tiene

\[ \begin{equation} \label{eqIntImpropiaA4} \begin{split} \displaystyle\int_{2}^{5}{\dfrac{1dx}{\sqrt{x-2}}} & =\lim_{t \to 2^{+}}\int_{t}^{5}{\dfrac{1dx}{\sqrt{x-2}}}=\lim_{t \to 2^{+}}\left. 2\sqrt{x-2} \right]_{t}^{5} \\ & = 2\lim_{t \to 2^{+}}\left(\sqrt{3}-\sqrt{t-2}\right)\\ & = 2\sqrt{3} \end{split} \end{equation} \]

5.19.2 Ejemplo2 Integral impropia tipo 2 caso (a)

Ejemplo 5.29 Evalúe la integral

\[ \displaystyle\int_{0}^{1}{\dfrac{1dx}{\sqrt{1-x^2}}} \] Tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(485\)

Es bueno resaltar que \(f(x)=1/\sqrt{1-x^2}\) tiene una asíntota en \(x=1\). Es decir \(f\) es discontinua en \([0,1)\). Entonces aplicando el caso (a) se tiene

\[ \begin{equation} \label{eqIntImpropiaA5} \begin{split} \displaystyle\int_{0}^{1}{\dfrac{1dx}{\sqrt{1-x^2}}} & =\lim_{t \to 1^{-}}\int_{0}^{t}{\dfrac{1dx}{\sqrt{1-x^2}}}=\lim_{t \to 1^{-}}\left[arcsen(x) \right]_{0}^{t}\\ & = \lim_{t \to 1^{-}}\left(arcsen(t)-arcsen(0)\right)\\ & = \dfrac{\pi}{2}-0=\dfrac{\pi}{2} \end{split} \end{equation} \]

5.19.3 Ejemplo3 Integral impropia tipo 2 caso (c)

Ejemplo 5.30 Evalúe la integral

\[ \displaystyle\int_{0}^{3}{\dfrac{1dx}{x-1}} \]

Es bueno resaltar que \(f(x)=1/(x-1)\) tiene una asíntota en \(x=1\). Es decir \(f\) es discontinua en \([0,3]\). Entonces aplicando el caso (c) se tiene

\[ \begin{equation} \label{eqIntImpropiaA6} \begin{split} \displaystyle\int_{0}^{3}{\dfrac{1dx}{x-1}} &=\displaystyle\int_{0}^{1}{\dfrac{1dx}{x-1}}+\displaystyle\int_{1}^{3}{\dfrac{1dx}{x-1}}\\ & \\ \text{Resolviendo la primera integral así:} &\\ \displaystyle\int_{0}^{1}{\dfrac{1dx}{x-1}} & =\lim_{t \to 1^{-}}\int_{0}^{t}{\dfrac{1dx}{x-1}}=\lim_{t \to 1^{-}}\left[ln|x-1| \right]_{0}^{t}\\ & = \lim_{t \to 1^{-}}\left(ln|t-1|-ln|-1|\right) = \lim_{t \to 1^{-}}\left(ln|t-1|\right) =-\infty\\ \text{Se concluye que la primera integral diverge} &\\ \end{split} \end{equation} \] Por lo tanto la integral planteada

\[ \displaystyle\int_{0}^{3}{\dfrac{1dx}{x-1}} \] Es divergente y no es necesario evaluar la inegral \(\displaystyle\int_{1}^{3}{\dfrac{1dx}{x-1}}\)

5.20 Teorema de comparacion para integrales impropias

Figura 5.13: Teorema de comparación de integrales impropias [Imagen tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(434\)]

Teorema 5.5 Supongamos que \(f\) y \(g\) son funciones continuas con la propiedad de que \(f(x) \geq g(x) \geq 0\) para \(x \geq a\).

(a.) Si

\[ \displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx} \]

es convergente, entonces

\[ \displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx} \] es convergente.

(b.) Si

\[ \displaystyle\int_{a}^{\infty}{g(x)dx} \]

es divergente, entonces

\[ \displaystyle\int_{a}^{\infty}{f(x)dx} \]

es divergente.

5.20.1 Ejemplo teorema de comparacion para integrales impropias

Figura 5.14: Ejemplo teorema de comparación de integrales impropias [Imagen tomada de (Stewart, Clegg, and Watson 2020a) pág \(435\)]

Ejemplo 5.31 Mostrar que la integral impropia

\[ \displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x^2}dx} \]

es convergente para toda \(x \geq 1\)

Sabemos que

\[ \displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x^2}dx}=\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{-x^2}dx}+\displaystyle\int_{1}^{\infty}{e^{-x^2}dx} \] Además sabemos que para \(f(x)=e^{-x}\) \[ \displaystyle\int_{1}^{\infty}{e^{-x}dx}=\lim_{t \to \infty}\int_{1}^{t}{e^{-x}dx}=\lim_{t \to \infty}\left(e^{-1}-e^{-t}\right)=e^{-1}, \ \ \text{es decir converge} \]

Así que para aplicar el teorma de comparación para dos integrales impropias tomaremos:

\(f(x)=e^{-x}\) y \(g(x)=e^{-x^2}\). Vemos que se cumple:

\[ f(x)=e^{-x} \geq g(x)=e^{-x^2} \geq 0 \quad \text{ para } x \geq 1 \]

Se puede ver de la gráfica arriba.

Entonces por el teorema de comparación se concluye que:

\[ \displaystyle\int_{0}^{\infty}{e^{-x^2}dx} \] es convergente para \(x \geq 1\)

5.21 Aproximación numérica de la integral definida

5.21.1 Ejemplo Regla de Trapecios

5.21.2 Ejemplo Regla de Simpson \(1/3\)

Referencias

Stewart, James. 2009. Calculus: Concepts and Contexts. Cengage Learning.

Stewart, James, Daniel K Clegg, and Saleem Watson. 2020a. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.

———. 2020b. Single Variable Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.

Thomas, George Brinton, Ross L Finney, Maurice D Weir, and Frank R Giordano. 2003. Thomas’ Calculus. Addison-Wesley Reading.