Capítulo 7 Integrales triples
7.1 Definición integral triple
Definición 7.1 Si \(f\) es continua sobre una región sólida acotada \(Q\) del espacio \(XYZ\), entonces la integral tripe de f sobre \(Q\) se define como:
\[ \displaystyle{{\int\int\int}_{Q}}{f(x,y,z)dV}=\displaystyle\lim_{{\parallel{\bigtriangleup}\parallel} \to 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(x_i,y_i,z_i){\bigtriangleup}V_i}} \]
Siempre que el límite exista. El volumen de la región sólida \(Q\) esta dado por:
\[ V(\text{sólido }Q)={\int\int\int}_{Q}{1dV} \]
[Tomado de (R. E. Larson et al. 1999) pág \(1024\)]
Teorema 7.1 Sea \(f\) continua en una región sólida definida por \(Q\) \[ Q=\left\{ \begin{array}{lcc} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a \leq x \leq b \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\\ \ \ \ \ \ h_1(x,y) \leq z \leq h_2(x,y) \end{array} \right. \]
donde \(h_1\), \(h_2\), \(g_1\), \(g_2\) son funciones continuas. Entonces
\[ {\int\int\int}_{Q}{f(x,y,z)dV}=\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}{f(x,y,z)dzdydx} \]
[Tomado de (R. E. Larson et al. 1999) pág \(1025\)]
7.2 Ejercicio integral triple
Ejercicio 7.1 Evaluar la integral iterada triple
\[ \int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y}{e^{x}(y+2z)dzdydx} \]
(R. E. Larson et al. 1999) pág \(1025\)]
\[ \int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y}{e^{x}(y+2z)dzdydx} = \\ \int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\left[e^{x}(yz+z^2)\right]_{0}^{x+y}dydx =\\ \int_{0}^{2}\int_{0}^{x}\left[e^{x}(x^2+3xy+2y^2)\right]dydx=\\ \int_{0}^{2}\left[e^{x}\left(x^2y+\dfrac{3xy^2}{2}+\dfrac{2y^3}{3}\right)\right]_{0}^{x}dx=\\ \dfrac{19}{6}\int_{0}^{2}x^3e^{x}dx=\\ \dfrac{19}{6}\left[e^{x}(x^3-3x^2+6x-6)\right]_{0}^{2}=\\ 19\left(\dfrac{e^2}{3}+1\right)=\\ \approx 65.797 \]
Puede también ver la respuesta de este ejercicio en (R. E. Larson et al. 1999) pág \(1025\)]
7.3 Ejercicio integral triple
Ejercicio 7.2 Hallar el volumen del elipsoide dado por \(4x^2+4y^2+z^2=16\)
\[ V(\text{sólido }Q)={\int\int\int}_{Q}{1dV} \]
(R. E. Larson et al. 1999) pág \(1026\)]
\[ 8\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{0}^{2\sqrt{4-x^2-y^2}}{1dzdydx} =\\ 8\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}\left. z\right]_{0}^{2\sqrt{4-x^2-y^2}}dydx=\\ 16\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}}\sqrt{(4-x^2)-y^2}dydx=\\ 8\int_{0}^{2}\left[y\sqrt{4-x^2-y^2}+(4-x^2)arcsen\left(\dfrac{y}{4-x^2}\right)\right]_{0}^{\sqrt{4-x^2}}dx=\\ 8\int_{0}^{2}[0+(4-x^2)arcsen(1)-0-0]dx=\\ 8\int_{0}^{2}(4-x^2)\left(\dfrac{\pi}{2}\right)dx=\\ 4\pi\left[4x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{2}=\\ =\dfrac{64\pi}{3} \ \ \ \text{Unidades de volumen} \]
Puede también ver la respuesta de este ejercicio en (R. E. Larson et al. 1999) pág \(1026\)]
Esta es una aplicación para calular una integral triple con limites variables y obtener su valor, la realizó John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/ywbjuqjv) usando geogebra.
7.4 Ejercicio integral triple
Ejercicio 7.3 Obtener la gráfica del sólido generado en el primer octante, por la intersección de las superficies en el espacio \(XYZ\):
\[\begin{equation} z^2+y^2=9 \ \ \ \ : \text{Cilíndro} \ \ \ \\ y=2, \ \ y=4 \ \ \ \ : \text{Planos paralelos al plano } \ XZ \ \ \ \\ z=0, \ \ \ \ : \text{Plano} \ XY \ \ \ \\ \end{equation}\]. [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(997\)]
Esta es una aplicación para generar un sólido límitado por varias superficies, realizado inicialmente por Mate.Math-University en youtube (https://www.youtube.com/watch?v=cqSPDNFZZ9U) el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/baxbk5pz) la elaboro usando geogebra.
7.5 Ejercicio integral triple
Ejercicio 7.4 Obtener la gráfica del sólido generado a partir de la intersección de las superficies en el espacio \(XYZ\):
\[\begin{equation} x^2+z^2+y^2=8 \ \ \ \ : \text{Esfera} \ \ \ \\ y^2+x^2=z^2, \ \ \ \ : \text{Cono arribal del plano } \ XY \ \ \ \\ \end{equation}\]. [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(997\)]
Esta es una aplicación para generar un sólido límitado por varias superficies, el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/baxbk5pz) lo elaboro usando geogebra.
7.6 Ejercicio integral triple
Ejercicio 7.5 Determine el volumen del segmento oblicuo de paraboloide acotado por el paraboloide \(z=x^2+y^2\) y el plano \(z=y+2\) en el espacio \(XYZ\):
[Tomado de (R. Larson 2006) pág \(872\)]
Esta es una aplicación para generar un sólido límitado por varias superficies, el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/gdeckh2x) lo elaboro usando geogebra.