Capítulo 3 Métodos para derivar parcialmente

Isasac Newton (1642-1727);
nacionalidad inglés famoso por Principios Matemáticos de la Filosofía Natural — Isaac Newton (1642-1727).

3.1 Definición derivada parcial

Definición 3.1 Si $z=f(x,y)$, las primeras derivadas parciales de $f$ con respecto a $x$ y $y$ son las funciones $f_x$ y $f_y$ definidas por:

\[ f_x(x,y)=\displaystyle\lim_{{\parallel \bigtriangleup{x}\parallel} \to 0}{\dfrac{f(x+\bigtriangleup{x},y)-f(x,y)}{ \bigtriangleup{x}}} \] \[ f_y(x,y)=\displaystyle\lim_{{\parallel \bigtriangleup{y}\parallel} \to 0}{\dfrac{f(x,y+\bigtriangleup{y})-f(x,y)}{ \bigtriangleup{y}}} \]

Siempre y cuando el límite exista.

3.2 Ejercicio derivada parcial con respecto a $x$

Ejercicio 3.1 Sea \[ f(x,y)=5x-4x^3y^2-4sen(x) \] Obtener la derivada parcial de $f$ con respecto a $x$.

Importante, y clave para realizar la derivada parcial con respecto a $x$ es que se debe, considerar que las expresiones en $y$ se comportan como constantes \[ f_x(x,y)=5-12x^2y^2-4cos(x) \]

Puede también ver la respuesta de este ejercicio en (R. E. Larson et al. 1999) pág $908$]

3.3 Ejercicio derivada parcial con respecto a $y$

Ejercicio 3.2 Sea \[ f(x,y)=5x-4x^3y^2-4sen(x) \] Obtener la derivada parcial de $f$ con respecto a $y$.

Importante, y clave para realizar la derivada parcial con respecto a $y$ es que se debe, considerar que las expresiones en $x$ se comportan como constantes \[ f_x(x,y)=-8x^3y^1 \]

Puede también ver la respuesta de este ejercicio en (R. E. Larson et al. 1999) pág $908$]

3.4 Notación (ó simbología) de la derivada parcial

La derivadas parciales tienen la siguiente simbología (ó notación)

\[ f_x(x,y)=z_x=\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y) \] \[ f_y(x,y)=z_y=\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}f(x,y) \]

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto $(a,b)$ se denotan por:

\[ \left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(a,b)}=f_{x}(a,b) \] \[ \left.\dfrac{\partial z}{\partial y}\right|_{(a,b)}=f_{y}(a,b) \]

3.5 Significado geométrico de la derivada parcial con respecto a $x$ y $y$

Significado de la derivada parcial [Imagen tomada de [@thomas2003thomas] pág $995$ y $996$]

Figura 3.1: Significado de la derivada parcial [Imagen tomada de (Thomas et al. 2003) pág $995$ y $996$]

3.6 Ejercicio Pendiente de una superficie

Ejercicio 3.3 Sea \[ f(x,y)=-\dfrac{x^2}{2}-y^2+\dfrac{25}{8} \] Hallar las pendientes en las direcciones de $x$ y de $y$ para la superficie dada por $z=f(x,y)$ en el punto $\left(\dfrac{1}{2},1,2\right)$.

Las derivadas parciales de $f$ con respecto a $x$, y a $y$ son: \[ f_{x}(x,y)=-x \ \ \ \ \ \ \text{ y } \ \ \ \ \ \ f_{y}(x,y)=-2y \] Las pendientes con respecto a $x$, y a $y$ son: \[ f_{x}\left(\dfrac{1}{2},1\right)=-\dfrac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \text{ y } \ \ \ \ \ \ f_{y}\left(\dfrac{1}{2},1\right)=-2 \] Puede también ver la respuesta de este ejercicio en (R. E. Larson et al. 1999) pág $908$]

Ejemplo de pendientes y significado de la derivada parcial [Imagen tomada de [@larson2006calculo] pág $910$]

Figura 3.2: Ejemplo de pendientes y significado de la derivada parcial [Imagen tomada de (R. Larson 2006) pág $910$]

3.7 Herramienta para evaluar primeras derivadas parciales en $(a,b)$

Esta es una aplicación para generar derivadas parciales en un punto del plano $XY$, el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/vevfbdws) la elaboro usando geogebra.

Teorema 3.1 Suponga que las primeras derivadas parciales de $f(x,y)$ están definidas en una región abierta $D$ que contiene el punto $(x_0,y_0)$ y que $f_x$ y $f_y$ son continuas en $(x_0,y_0)$. Entonces el cambio

\[ \bigtriangleup{z}=f(x_0+\bigtriangleup{x},y_0+\bigtriangleup{y})-f(x_0,y_0) \] en el valor de $f$, resultante de moverse de $(x_0,y_0)$ a otro punto $(x_0+\bigtriangleup{x},y_0+\bigtriangleup{y})$ en $D$, satisface una ecuación de la forma

\[ \bigtriangleup{z}=f_{x}(x_0,y_0)\bigtriangleup{x}+f_{y}(x_0,y_0)\bigtriangleup{y}+{\epsilon}_{1}\bigtriangleup{x}+{\epsilon}_{2}\bigtriangleup{y} \] donde cada ${\epsilon}_1$,${\epsilon}_2 \to 0$, cuando $\bigtriangleup{x}$, ${\bigtriangleup{y} \to 0}$. (Thomas et al. 2003) pág $993$]

Definición 3.2 Una función $z=f(x,y)$ es diferenciable en $(x_0,y_0)$ si $f_{x}(x_0,y_0)$ y $f_{y}(x_0,y_0)$ existen y $\bigtriangleup{z}$ satisface una ecuación de la forma

(Thomas et al. 2003) pág $993$]

::: {.corollary #unnamed-chunk-17} Si las derivadas parciales de primer orden de una funcón $f$ en las variables $x$ y $y$ son continuas en toda una región abierta $D$, entonces $f$ es diferenciable en cada punto de $D$. :::

Teorema 3.2 Si una función $f(x,y)$ es diferenciable en $(x_0,y_0)$, entonces $f$ es continua en $(x_0,y_0)$.

3.8 Derivadas parciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc., derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que se hace la derivación.

\[ \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)=\dfrac{{\partial}^2f}{\partial x^2}=f_{xx} \ \ \ \ \ \ \text{ ; } \ \ \ \ \ \ \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\dfrac{{\partial}^2f}{\partial y^2}=f_{yy} \] \[ \dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)=\dfrac{{\partial}^2f}{\partial{y}\partial{x} }=f_{xy} \ \ \ \ \ \ \text{ ; } \ \ \ \ \ \ \dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=\dfrac{{\partial}^2f}{\partial{x}\partial{y}}=f_{yx} \]

3.9 Ejercicio derivadas parciales de orden superior

Ejercicio 3.4 Sea \[ f(x,y)=3xy^2-2y+5x^2y^2 \] Hallar las derivadas parciales de orden uno y dos para $z=f(x,y)$ en el punto $\left(-1,2\right)$.

Las derivadas parciales de primer orden para $f$ con respecto a $x$, y a $y$ son: \[ f_{x}(x,y)=3y^2+10xy^2 \ \ \ \ \ \ \text{ y } \ \ \ \ \ \ f_{y}(x,y)=6xy-2+10x^2y \] Las derivadas parciales de orden dos para $f$ con respecto a $x$, y a $y$ son: \[ f_{xx}(x,y)=10y^2 \ \ \ \ \ \ \text{ y } \ \ \ \ \ \ f_{yy}(x,y)=6x+10x^2 \] \[ f_{xy}(x,y)=6y+20xy \ \ \ \ \ \ \text{ y } \ \ \ \ \ \ f_{yx}(x,y)=6y+20xy \] Puede también ver la respuesta de este ejercicio en (R. E. Larson et al. 1999) pág $908$]

3.10 Herramienta para evaluar derivadas parciales de orden dos en $(a,b)$

Esta es una aplicación para generar derivadas parciales de segundo orden en un punto del plano $XY$, el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/derwhqkk) la elaboro usando geogebra.

Teorema 3.3 Si $f$ es una función de $x$ y $y$ tal que $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son continuas en un disco abierto $D$, entonces, para toda pareja $()x,y$ en $D$,

\[ f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) \]

[Tomado de (R. Larson 2006) pág $913$]

3.11 Regla de la cadena para funciones de varias variables

3.11.1 Una variable independiente

Esquema regla de la cadena: una variable independiente [Imagen tomada de [@larson2006calculo] pág $925$]

Figura 3.3: Esquema regla de la cadena: una variable independiente [Imagen tomada de (R. Larson 2006) pág $925$]

Teorema 3.4 Sea $w=f(x,y)$, donde $f$ es una función derivable de $x$ y $y$. Si $x=g(t)$ y $y=h(t)$, donde $g$ y $h$ son funciones derivables en $t$, entonces $w$ es una función diferenciable de $t$, y

\[ \dfrac{dw}{dt}=\dfrac{\partial{w}}{\partial{x}}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial{w}}{\partial{y}}\dfrac{dy}{dy} \]

[Tomado de (R. Larson 2006) pág $925$]

Si $w$ es una función diferenciable de $n$ variables $x_1,x_2,...,x_n$, y si cada $x_i$ es una función de una sola variable $t$, entonces para $w=f(x_1,x_2,...,x_n)$ se tiene:

\[ \dfrac{dw}{dt}=\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_1}}\dfrac{dx_1}{dt}+\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_2}}\dfrac{dx_2}{dt}+...+\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_n}}\dfrac{dx_n}{dt} \]

3.11.2 Dos variables independientes

Esquema regla de la cadena: dos variables independientes [Imagen tomada de [@larson2006calculo] pág $927$]

Figura 3.4: Esquema regla de la cadena: dos variables independientes [Imagen tomada de (R. Larson 2006) pág $927$]

Teorema 3.5 Sea $w=f(x,y)$, donde $f$ es una función derivable de $x$ y $y$. Si $x=g(s,t)$ y $y=h(s,t)$, donde $g$ y $h$ son funciones tales que las derivadas parciales de primer orden con respecto a $s$ y $t$ existen, entonces $\partial{w}/\partial{s}$,$\partial{w}/\partial{t}$ existen y estan dadas por:

\[ \dfrac{\partial{w}}{\partial{s}}=\dfrac{\partial{w}}{\partial{x}}\dfrac{\partial{x}}{\partial{s}}+\dfrac{\partial{w}}{\partial{y}}\dfrac{\partial{y}}{\partial{s}} \] \[ \dfrac{\partial{w}}{\partial{t}}=\dfrac{\partial{w}}{\partial{x}}\dfrac{\partial{x}}{\partial{t}}+\dfrac{\partial{w}}{\partial{y}}\dfrac{\partial{y}}{\partial{t}} \]

[Tomado de (R. Larson 2006) pág $925$]

Si $w$ es una función diferenciable de $n$ variables $x_1,x_2,...,x_n$, donde cada $x_i$ es una función diferenciable de $m$ variables $t_1,t_2,...,t_m$, entonces para $w=f(x_1,x_2,...,x_n)$ se tiene:

\[ \dfrac{dw}{dt_1}=\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_1}}\dfrac{dx_1}{dt_1}+\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_2}}\dfrac{dx_2}{dt_1}+...+\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_n}}\dfrac{dx_n}{dt_1} \] \[ \dfrac{dw}{dt_2}=\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_2}}\dfrac{dx_1}{dt_2}+\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_2}}\dfrac{dx_2}{dt_2}+...+\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_n}}\dfrac{dx_n}{dt_2} \] \[ \vdots \]

\[ \dfrac{dw}{dt_m}=\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_2}}\dfrac{dx_1}{dt_m}+\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_2}}\dfrac{dx_2}{dt_m}+...+\dfrac{\partial{w}}{\partial{x_n}}\dfrac{dx_n}{dt_m} \]

3.12 Herramienta evalúa RCadena2V independientes

Esta es una aplicación para evaluar en un punto $(a,b)$ en la regla de la cadena con dos variables independientes, el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/qr3hhmx4) la elaboro usando geogebra.

3.13 Derivación parcial implícita

Teorema 3.6 Si la ecuación $F(x,y)=0$ define a $y$ implícitamente como función de $x$, entonces

\[ \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}, \ \ \ \ \ F_{y}(x,y) \neq 0 \]

Si la ecuación $F(x,y,z)=0$ define a $z$ implícitamente como una función diferenciable de $x$ y $y$, entonces
\[ \dfrac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\dfrac{F_{x}(x,y,z)}{F_{z}(x,y,z)}, \ \ \ \text{ y } \ \ \ \ \dfrac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\dfrac{F_{y}(x,y,z)}{F_{z}(x,y,z)},\ \ \ \ F_{z}(x,y,z) \neq 0 \]

[Tomado de (R. Larson 2006) pág $930$]

3.14 Derivada direccional

Definición derivada direccional [Imagen tomada de [@larson2006calculo] pág $933$]

Figura 3.5: Definición derivada direccional [Imagen tomada de (R. Larson 2006) pág $933$]

Definición 3.3 Sea $f$ una función de dos variables $x$ y $y$, y sea $u=cos(\theta)i+sen(\theta)j$ un vector unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector u, que se denota $D_{u}f$ es

\[ D_{u}f(x,y)=\displaystyle{\lim_{t \to 0}{\dfrac{f(x+tcos(\theta),y+tsen(\theta))-f(x,y)}{t}}} \] siempre que este límite exista.

[Tomado de (R. Larson 2006) pág $934$]

Teorema 3.7 Si $f$ es una función diferenciable de $x$ y $y$, entonces la derivada direcional de $f$ con la dirección del vector unitrario $u=cos(\theta)i+sen(\theta)j$ es

\[ D_{u}f(x,y)=f_{x}(x,y)cos(\theta)+f_{y}(x,y)sen(\theta) \]

[Tomado de (R. Larson 2006) pág $934$]

3.15 Gradiente de una función

Definición gradiente de una función [Imagen tomada de [@larson2006calculo] pág $938$]

Figura 3.6: Definición gradiente de una función [Imagen tomada de (R. Larson 2006) pág $938$]

Definición 3.4 Sea $z=f(x,y)$ una función de $x$ y $y$, tal que $f_{x}$ y $f_{y}$ existen. Entonces el gradiente de $f$, denotado por $\nabla{f(x,y)}$ es el vector:

\[ \nabla{f(x,y)}=f_{x}(x,y)i+f_{y}(x,y)j \]

El gradiente es un vector en el plano $XY$

[Tomado de (R. Larson 2006) pág $936$]

Referencias

Larson, Roland E, Robert P Hostetler, Bruce H Edwars, Lorenzo Abellanas Rapún, et al. 1999. Cálculo y Geometrı́a Analı́tica.

Larson, Ron. 2006. Cálculo de Varias Variables. QA303. l3718 2004.

Thomas, George Brinton, Ross L Finney, Maurice D Weir, and Frank R Giordano. 2003. Thomas’ Calculus. Addison-Wesley Reading.

Curso de Matemáticas Tres UCES