Capítulo 6 Integrales dobles
6.1 Definición de integral doble
Definición 6.1 Si \(f\) esta definida en una región cerrada y acotada \(D\) del plano \(XY\), entonces la integral doble de f sobre \(D\) esta dada por[Tomado de (R. Larson 2006) pág \(994\)]
\[ \int_{D}\int{f(x,y)dA} =\lim_{{\parallel{\bigtriangleup}\parallel} \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i){\bigtriangleup}A_i \]
siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces \(f\) es integrable sobre la región \(D\) en el plano \(XY\).
![Partición regular para obtener el volumen de un sólido [Imagen tomada de [@larson2006calculo] pág $992$]](images/VolumenIntegralDobleDef_A2.png)
Figura 6.1: Partición regular para obtener el volumen de un sólido [Imagen tomada de (R. Larson 2006) pág \(992\)]
Esta es una aplicación para generar un sólido en 3D, el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/nbzsjxsj) la elaboro usando geogebra.
6.2 Definición de volumen para una región sólida
![Definición de volumen como integral doble [Imagen tomada de [@stewart2009calculus] pág $850$ y $851$]](images/DefVolIntegralDoble_A1.png)
Figura 6.2: Definición de volumen como integral doble [Imagen tomada de (Stewart 2009) pág \(850\) y \(851\)]
Definición 6.2 Si \(f\) es integrable sobre una región \(D\) del plano \(XY\) y \(f(x,y) \geq 0\) para todo \((x,y) \in D\), entonces el volumen de la región sólida que se encuentra sobre \(D\) y bajo la gráfica de \(f\) se define como:
Si \[ A(x)=\int_{c}^{d}{f(x,y)dy} \]
\[ V(\text{región sólida})=\int_{D}\int{f(x,y)dA}=\int_{a}^{b}{A(x)dx}=\int_{a}^{b}{\int_{c}^{d}{f(x,y)dy}dx} \]
donde \(D=[a,b]\times [c,d]\) [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(994\)]
6.3 Propiedades de las integrales dobles
Teorema 6.1 Sean \(f\) y \(g\) continuas en una región cerrada y acotada \(D\) del plano \(XY\), y sea \(c\) una constante. Cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera: [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(994\)]
![Dos regiones no se sobreponen si su intersección es un conjunto de área cero. [Imagen tomada de [@larson2006calculo] pág $994$]](images/Imagen_PdeIntegralDoble1.png)
Figura 6.3: Dos regiones no se sobreponen si su intersección es un conjunto de área cero. [Imagen tomada de (R. Larson 2006) pág \(994\)]
(1.) \(\int_{D}\int{cf(x,y)dA}=c\int_{D}\int{f(x,y)dA}\)
(2.) \(\int_{D}\int{\left[f(x,y) \pm g(x,y) \right] dA} = \int_{D}\int{f(x,y)dA} \pm \int_{D}\int{g(x,y)dA}\)
(3.) \(\int_{D}\int{f(x,y)dA}\geq 0\), si \(f(x,y)\geq 0\)
(4.) \(\int_{D}\int{cf(x,y)dA}\geq \int_{D}\int{g(x,y)dA}\), si \(f(x,y) \geq g(x,y)\)
(5.) Si \(D=R_1 \cup R_2\), entonces \(\int_{D}\int{cf(x,y)dA}=\int_{R_1}\int{f(x,y)dA}+\int_{R_2}\int{f(x,y)dA}\)
6.4 Ejemplo integral doble usando geogebra
Ejemplo 6.1 Sea \(D\) el rectángulo definido como \(\left[0,1\right] \times \left[-3,3\right]\) y \(f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+1}\) una función integrable en \(D\). Obtener usando geogebra el volumén limitado arriba por \(f\), y abajo por el rectángulo \(D\). Observe que \(f(x,y) \geq 0\) para todo \((x,y) \in D\) [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(994\)]
Esta es una aplicación que genera un sólido y proporciona su volumen, inicialmente la realizó en youtube Matemática y Geogebra (https://www.youtube.com/watch?v=GfhDeC2lN88&t=857s), y posteriormente la realizó John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/f6guccy3).
6.5 Ejercicio integral doble
Ejercicio 6.1 Sea \(D\) el rectángulo definido como \(\left[0,1\right] \times \left[0,1\right]\) y \(f(x,y)=1-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}y^2\) una función integrable en \(D\). Además \[ \left[0,1\right] \times \left[0,1\right] \ \ \ \text{significa que:} \ \ \ 0\leq x \leq 1 \ \ \text{y} \ \ 0\leq y \leq 1 \]
el volumén limitado arriba por \(f\), y abajo por el rectángulo \(D\). Observe que \(f(x,y) \geq 0\) para todo \((x,y) \in D\) [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(996\)]
![El volumen de la región rectángular. [Imagen tomada de [@larson2006calculo] pág $996$]](images/EjercicioIntDoble1.png)
Figura 6.4: El volumen de la región rectángular. [Imagen tomada de (R. Larson 2006) pág \(996\)]
\[ \int_{D}\int{1-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}y^2)dA}=\\ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\left(1-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}y^2)\right)dydx=\\ \int_{0}^{1}\left[\left(1-\dfrac{1}{2}x^2\right)y -\dfrac{y^3}{6} \right]_{0}^{1}dx=\\ \int_{0}^{1}\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{2}x^2\right)dx=\\ \left[\dfrac{5}{6}x-\dfrac{x^3}{6}\right]_{0}^{1}=\\ =\dfrac{2}{3} \]
El ejercicio se puede ver solucionado en (R. Larson 2006) pág \(996\)]
![Tipo de regiones en el plano cartesiano $XY$. [Imagen tomada de [@zill2011matematicas] pág $755$]](images/TiposDeRegionesIntDoble_A1.png)
Figura 6.5: Tipo de regiones en el plano cartesiano \(XY\). [Imagen tomada de (Zill and Wright 2011) pág \(755\)]
Teorema 6.2 Supongamos que \(f(x,y)\) es continuas en una región cerrada y acotada \(D\) del plano \(XY\). Si \(D\) es una región verticalmente simple, entonces \(D\) se puede describir en términos de desigualdades de la forma:
\[ D=\left\{ \begin{array}{lcc} \ \ \ \ \ a \leq x \leq b \\ \\g_1(x) \leq y \leq g_2(x) \end{array} \right. \]
y
\[ \int_{D}\int{f(x,y)dA}=\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}{f(x,y)dydx} \]
[Tomado de (Edwards, Penney, and Velasco 1996) pág \(838\)]
Teorema 6.3 Supongamos que \(f(x,y)\) es continuas en una región cerrada y acotada \(D\) del plano \(XY\). Si \(D\) es una región verticalmente simple, entonces \(D\) se puede describir en términos de desigualdades de la forma:
\[ D=\left\{ \begin{array}{lcc} \ \ \ \ \ c \leq y \leq d \\ \\h_1(y) \leq x \leq h_2(y) \end{array} \right. \]
y
\[ \int_{D}\int{f(x,y)dA}=\int_{a}^{b}\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}{f(x,y)dxdy} \]
[Tomado de (Edwards, Penney, and Velasco 1996) pág \(838\)]
6.6 Ejercicio integral doble
Ejercicio 6.2 Sea \(D\) la región no rectángular definida como:
\[ 0\leq x \leq 1 \\ -\sqrt(\dfrac{4-x^2}{2}) \leq y \leq \sqrt(\dfrac{4-x^2}{2}) \]
y \(f(x,y)=4-x^2-2y^2\) una función integrable en \(D\). Hallar el volumen del sólido limitado por abajo de la superficie \(f(x,y)\), y por arriba de la región \(D\) usando integrales dobles. [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(997\)]
NOTA: Use la aplicación de geogebra para verificar su resultado.
Está es una aplicación de geogebra que realizó John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/fdpb6ym8).6.8 Ejercicio integral doble
Ejercicio 6.3 Determinar el área usando integrales dobles para la región \(D\) limitada por las curvas \(x=-2\), \(x=2\), \(y=-x^2+2x\), y \(y=3x^3-x^2-10x\). [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(997\)]
\[ D_1=\left\lbrace (x,y) \in R^2, \ \ \text{tal que } \ \ -2 \leq x \leq 0; \ \ -x^2+2x \leq y \leq 3x^3-x^2-10x \right\rbrace \] Por lo tanto el área de la región \(D_1\) es: \[ A(\text{Región }D_1)=\int_{-2}^{0}\int_{-x^2+2x}^{ 3x^3-x^2-10x}{1dydx} \]
\[ D_2=\left\lbrace (x,y) \in R^2, \ \ \text{tal que } \ \ 0 \leq x \leq 2; \ \ 3x^3-x^2-10x \leq y \leq -x^2+2x \right\rbrace \] Por lo tanto el área de la región \(D_2\) es: \[ A(\text{Región }D_2)=\int_{0}^{2}\int_{ 3x^3-x^2-10x}^{-x^2+2x}{1dydx} \] De donde el área total de la región \(D_1 \cup D_2\) es:
\[ A(\text{Región }D_1 \cup D_2)=\int_{-2}^{0}\int_{-x^2+2x}^{ 3x^3-x^2-10x}{1dydx}+\int_{0}^{2}\int_{ 3x^3-x^2-10x}^{-x^2+2x}{1dydx}=24 \ \ \text{Unidades de área} \]
El ejercicio se puede ver solucionado en (R. Larson 2006) pág \(996\)]
6.9 Ejercicio integral doble
Ejercicio 6.4 Obtener la gráfica del sólido generado en el primer octante, por la intersección de las superficies en el espacio \(XYZ\):
\[\begin{equation} z^2+x^2=9 \ \ \ \ : \text{Cilíndro} \ \ \ \\ y=2, \ \ y=4 \ \ \ \ : \text{Planos paralelos al plano } \ XZ \ \ \ \\ z=0, \ \ \ \ : \text{Plano} \ XY \ \ \ \\ \end{equation}\]. [Tomado de (R. Larson 2006) pág \(997\)]
Esta es una aplicación para generar las gráficas de cada una de las superficies que plantea el ejemplo, realizado inicialmente por Mate.Math-University en youtube (https://www.youtube.com/watch?v=cqSPDNFZZ9U) el Autor en este ejemplo:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/rrswnzgr) la elaboro usando geogebra.
En este momento se puede ver el sólido después de retirar los planos y las otras superficies que generaron el sólido pedido en el ejercicio 6.3
Esta es una aplicación para generar un sólido límitado por varias superficies, realizado inicialmente por Mate.Math-University en youtube (https://www.youtube.com/watch?v=cqSPDNFZZ9U) el Autor:John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/baxbk5pz) la elaboro usando geogebra.
Solución
Realice la sustitución que se indica para obtener el volumen del sólido
\[ D_1=\left\lbrace (x,y) \in R^2, \ \ \text{tal que } \ \ 0 \leq x \leq 3; \ \ 2 \leq y \leq 4; \ \ \ \ z=f(x,y)=\sqrt{9-x^2} \right\rbrace \]
Esta es una aplicación que genera un sólido y proporciona su volumen, inicialmente la realizó en youtube Matemática y Geogebra (https://www.youtube.com/watch?v=GfhDeC2lN88&t=857s), y posteriormente la realizó John Jairo Estrada (https://www.geogebra.org/classic/f6guccy3).