Capítulo 3 Conjuntos numéricos

Figura 3.1: Número Irracional [Imagen tomada de (zill2012algebra?) pág \(50\)]

Definición3.1 El conjunto de los números naturales consta de:

\[ N=\{ 1,2,3,4,...\} \]

Definición3.2 El conjunto de los números enteros consta de:

\[ Z=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\} \]

Definición3.3 El conjunto de los números racionales consta de todos los números que son cociente de dos enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero. Es decir:

\[ Q=\{ \dfrac{p}{q} | p \ \text{y} \ q \ \ \text{son números enteros,} \ \ q \ \neq \ 0\} \] ::: {.definition #unnamed-chunk-18} El conjunto de los números irracionales consta de todos los números que no son el cociente de dos enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero. Es decir: :::

\[ Q^{*}=\{x | \ x \neq \ \dfrac{p}{q}, \ \ q \ \neq \ 0\ \} \] ::: {.definition #unnamed-chunk-19} El conjunto de los números reales consta de la unión entre el conjunto de los racionales y los irracionales. Es decir: :::

\[ R=\{x | \ x \in Q \ \text{o} \ x \in Q^{*} \}=Q \cup Q^{*} \]

Figura 3.2: Diagrama de los conjuntos numéricos [Imagen tomada de (swokowski1996algebra?) pág \(3\)]

3.1 Conjuntos numéricos

3.2 Propiedades de los números reales

\[\begin{equation} \begin{matrix} \text{Propiedad de cerradura} & &\\ (1a) \ \ a+b \ \text{es un número real} & (1b) \ \ a.b \ \text{es un número real} &\\ & & &\\ \text{Propiedad conmutativa} & &\\ (2a) \ \ a+b = b+a \ & (2b) \ \ a.b = b.a \ &\\ & & &\\ \text{Propiedad asociativa} & &\\ (3a) \ \ (a+b)+c = a+(b+c) \ & (3b) \ \ (a.b).c = a.(b.c) \ &\\ & & &\\ \text{Propiedad de identidad} & &\\ (4a) \ \ a+0 = 0+a = a \ & (4b) \ \ a.1 = 1.a = a \ &\\ & & &\\ \text{Propiedad del inverso} & &\\ (5a) \ \ a+(-a) = (-a)+a = 0 \ & (5b) \ \ a.\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a}.a = 1, \ \ a \neq 0 &\\ & & &\\ \text{Propiedad distributiva} & &\\ (6a) \ \ a.(b + c) = ab + ac \ & (6b) \ \ (a + b).c = ac + bc \ &\\ & & &\\ \text{PROPIEDADES ADICIONALES} & &\\ & & &\\ \text{Propiedad de la igualdad} & &\\ (7a) \ \ \text{Si} \ a = b, \ \ \text{entonces} \ \ a + c = b + c, \ & \ \ \text{para todo número real } c \ &\\ & & &\\ (7b) \ \ \text{Si} \ a = b, \ \ \text{entonces} \ \ a.c = b.c, \ & \ \ \text{para todo número real } c \ &\\ & & &\\ \text{Propiedad de la multiplicación por cero} & &\\ (8a) \ \ \text{Si} \ a.0 = 0.a = 0, \ \ \ \ \ \ & \ \ \text{para todo número real } a \ &\\ & & &\\ (8b) \ \ \text{Si} \ a.b = 0, \ \ \text{entonces} \ \ a = 0, \ \ \ b = 0, \ & \ \ \text{ó ambas } \ &\\ & & &\\ \text{Propiedad de cancelación} & &\\ (9a) \ \ \text{Si} \ a.c = b.c, \ \ \text{y} \ \ c \neq 0, \ \ \text{entonces } a = c & \ \ \text{para todo número real } c \neq 0 \ &\\ & & &\\ (9b) \ \ \ \dfrac{a.c}{b.c} = \dfrac{a}{b}, \ \ \text{siempre que} \ \ b \neq 0, \ \ \text{y } \ \ c \neq 0, \ \ \ & \ \ &\\ & & &\\ \text{Propiedad para el manejo del signo} & &\\ (10a) \ \ -(-a) = a \ & (10b) \ \ -(a.b) = (-a).b = a.(-b) \ &\\ & & &\\ (10c) \ \ -a = (-1).a \ & (10d) \ \ (-a).(-b) = a.b \ &\\ & & &\\ \text{Propiedad para el manejo de fracciones} & &\\ (11a) \ \ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \ \ \text{si y sólo si } \ \ ad = bc & (11b) \ \ -\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} \ &\\ & & &\\ (11c) \ \ \dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{b} = \dfrac{a \pm c}{b} \ & (11d) \ \ \dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm cb}{bd} \ &\\ & & &\\ (11e) \ \ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{b} = \dfrac{a.c}{b.d} \ & (11f) \ \ \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} =\dfrac{a.d}{b.c} \ &\\ & & &\\ \text{División de cero y División por cero} & &\\ (12a) \ \ \dfrac{a}{0} = a \div 0 = \text{IND}, \ \ a \neq 0 & (12b) \ \ \dfrac{0}{0} = 0 \div 0 = \text{IND} \ &\\ & & &\\ (12c) \ \ \dfrac{0}{a} = 0 \div a = 0, \ \ a \neq 0 \ & \ \ \ &\\ & & &\\ \end{matrix} \end{equation}\]

3.3 Ejemplos de fracciones en los números reales

\[\begin{equation} \begin{matrix} \text{Igualdad de fracciones o proporciones} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (1a) \ \ \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \ \ \text{si y sólo si } \ \ ad = bc & \\ (1b) \ \ \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{15} \ \ \text{ porque } \ \ (2).(15) = (5).(6) = 30 &\\ & & &\\ \text{Simplificación en una fracción o proporción} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (2a) \ \ \dfrac{a.d}{b.d} = \dfrac{a}{b} \ \ \text{ } \ \ & \\ (2b) \ \ \dfrac{6}{15} = \dfrac{(2).(3)}{(5).(3)} = \dfrac{2}{5} \ \ \text{ } \ \ &\\ & & &\\ \text{Manejo del signo en una fracción o proporción} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (3a) \ \ -\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} \ \ \text{ } \ \ & \\ (3b) \ \ -\dfrac{2}{5} = \dfrac{-2}{5} = \dfrac{2}{-5} \ \ \text{ } \ \ &\\ & & &\\ \text{Suma de fracciones homogeneas ó con igual denominador} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (4a) \ \ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a + c}{b} \ \ \text{ } \ \ & \\ (4b) \ \ \dfrac{3}{7} + \dfrac{9}{7} = \dfrac{3 + 9}{7} = \dfrac{12}{7} \ \ \text{ } \ \ &\\ & & &\\ \text{Diferencia de fracciones homogeneas ó con igual denominador} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (5a) \ \ \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a - c}{b} \ \ \text{ } \ \ & \\ (5b) \ \ \dfrac{3}{7} - \dfrac{9}{7} = \dfrac{3 - 9}{7} = \dfrac{-6}{7} \ \ \text{ } \ \ &\\ & & &\\ \text{Suma de fracciones no homogeneas ó con diferentes denominadores} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (6a) \ \ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a.d + b.c}{b.d} \ \ \text{ } \ \ & \\ (6b) \ \ \dfrac{3}{5} + \dfrac{9}{7} = \dfrac{(3)(7) + (5)(9)}{(5)(7)} = \dfrac{21 + 45}{35} = \dfrac{66}{35} \ \ \text{ } \ \ &\\ & & &\\ \text{Diferencia de fracciones no homogeneas ó con diferentes denominadores} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (7a) \ \ \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} = \dfrac{a.d - b.c}{b.d} \ \ \text{ } \ \ & \\ (7b) \ \ \dfrac{3}{5} - \dfrac{9}{7} = \dfrac{(3)(7) - (5)(9)}{(5)(7)} = \dfrac{21 - 45}{35} = \dfrac{-24}{35} \ \ \text{ } \ \ &\\ & & &\\ \text{Producto de fracciones no homogeneas ó con diferentes denominadores} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (8a) \ \ \dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a.c}{b.d} \ \ \text{ } \ \ & \\ (8b) \ \ \dfrac{3}{5} \times \dfrac{9}{7} = \dfrac{(3)(9)}{(5)(7)} = \dfrac{27}{35} \ \ \text{ } \ \ &\\ & & &\\ \text{División de fracciones no homogeneas ó con diferentes denominadores} & \\ \text{Ejemplo de ilustración} &\\ (9a) \ \ \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{a.d}{b.c} \ \ \text{ } \ \ & \\ (9b) \ \ \dfrac{3}{5} \div \dfrac{9}{7} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{7}{9} = \dfrac{(3)(7)}{(5)(9)} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15} \ \ \text{ } \ \ &\\ & & &\\ \end{matrix} \end{equation}\]

3.4 Evaluación (Conjuntos y recta real)